Ponte de Wien

Uma ponte de Wien é um oscilador eletrônico que gera ondas sinusoidais sem fonte de entrada.

História

A ponte de Wien foi desenvolvida originalmente por Max Wien em 1891. O circuito moderno é derivado da tese de mestrado de William Hewlett em 1939. Hewlett, com David Packard, co-fundou Hewlett-Packard. O primeiro produto da firma foi o HP 200A, um oscilador baseado na ponte de Wien. O 200A é um instrumento clássico conhecido pela baixa distorção do sinal de saída.

Modelagem

Considere ${\displaystyle v_{i}}$ e ${\displaystyle v_{o}}$ as tensões de entrada e saída do amplificador e ${\displaystyle I_{o}}$ a corrente de saída do mesmo. Obtêm-se as seguintes equações para os nós do circuito:

• ${\displaystyle I_{o}={\frac {v_{i}}{R_{2}}}+C_{2}{\frac {dv_{i}}{dt}}\quad (1)}$
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(v_{o}-v_{i}\right)=R_{1}{\frac {dI_{o}}{dt}}+{\frac {I_{o}}{C_{1}}}\quad (2)}$

Substituindo ${\displaystyle (1)\,}$ em ${\displaystyle (2)\,}$, tem-se:

• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(v_{o}-v_{i}\right)=R_{1}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {v_{i}}{R_{2}}}+C_{2}{\frac {dv_{i}}{dt}}\right)+{\frac {1}{C_{1}}}\left({\frac {v_{i}}{R_{2}}}+C_{2}{\frac {dv_{i}}{dt}}\right)}$

Que pode ser simplificado em

• ${\displaystyle R_{1}C_{2}{\frac {d^{2}v_{i}}{dt^{2}}}+\left(1+{\frac {R_{1}}{R_{2}}}+{\frac {C_{2}}{C_{1}}}\right){\frac {dv_{i}}{dt}}+\left({\frac {1}{C_{1}R_{2}}}\right)v_{i}-{\frac {dv_{o}}{dt}}=0}$

ou, equivalentemente:

• ${\displaystyle {\frac {d^{2}v_{i}}{dt^{2}}}+\left({\frac {R_{1}C_{1}+R_{2}C_{1}+R_{2}C_{2}}{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}\right){\frac {dv_{i}}{dt}}+\left({\frac {1}{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}\right)v_{i}-{\frac {1}{R_{1}C_{2}}}{\frac {dv_{o}}{dt}}=0\quad (3)}$

Solução

Caso linear

Quando a relação entre ${\displaystyle v_{i}\,}$ e ${\displaystyle v_{o}\,}$ é linear, ou seja:

${\displaystyle v_{0}=kv_{i}\,}$

para alguma constante ${\displaystyle K\,}$, ${\displaystyle (3)\,}$ recai em:

• ${\displaystyle {\frac {d^{2}v_{i}}{dt^{2}}}+\left({\frac {R_{1}C_{1}+R_{2}C_{1}+R_{2}C_{2}-kR_{2}C_{1}}{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}\right){\frac {dv_{i}}{dt}}+\left({\frac {1}{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}\right)v_{i}=0}$

Esta é uma Equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Define-se o fator de amortecimento, a freqüência natural de oscilação e ganho crítico:

• ${\displaystyle \alpha :={\frac {R_{1}C_{1}+R_{2}C_{1}+R_{2}C_{2}-kR_{2}C_{1}}{2\left(R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}\right)^{1/2}}}\quad w_{0}={\frac {1}{\left(R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}\right)^{1/2}}}\quad k_{c}={\frac {R_{1}C_{1}+R_{2}C_{1}+R_{2}C_{2}}{R_{2}C_{1}}}}$

Nestes termos, a equação se escreve:

• ${\displaystyle {\frac {d^{2}v_{i}}{dt^{2}}}+2\alpha w_{0}{\frac {dv_{i}}{dt}}+w_{0}^{2}v_{i}=0}$

A solução geral desta equação é dada por:

• ${\displaystyle v_{i}:=C_{1}e^{\lambda _{1}t}+C_{2}e^{\lambda _{2}t}}$

onde ${\displaystyle \lambda _{1}\,}$ e ${\displaystyle \lambda _{2}\,}$ são as raízes da equação do segundo grau:^[1]

• ${\displaystyle \lambda ^{2}+2\alpha w_{0}\lambda +w_{0}^{2}=0}$

Assim, temos:

• ${\displaystyle \lambda _{1,2}=\left(-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-1}}\right)w_{0}}$

Os autovalores ${\displaystyle \lambda _{1,2}\,}$ possuem parte imaginária não nula quando ${\displaystyle |\alpha |<1\,}$, neste caso a solução geral é dada por:

• ${\displaystyle v_{i}:=A_{1}e^{\sigma t}\sin(wt)+A_{2}e^{\sigma t}\cos(wt)\,}$

onde: ${\displaystyle \sigma =-w_{0}\alpha \quad \quad w=w_{0}{\sqrt {1-\alpha ^{2}}}\,}$

Observam-se aqui três casos distintos:

• Fator de amortecimento positivo ${\displaystyle \left(k>k_{c}\Rightarrow \alpha >0\Rightarrow \sigma <0\right)\,}$: o sistema apresenta oscilações cujas amplitudes crescem exponencialmente com tempo.
• Fator de amortecimento negativo ${\displaystyle \left(k<k_{c}\Rightarrow \alpha <0\Rightarrow \sigma >0\right)\,}$: o sistema apresenta oscilações cujas amplitudes decaem exponencialmente com tempo.
• Fator de amortecimento nulo ${\displaystyle \left(k=k_{c}\Rightarrow \alpha =\sigma =0\right)\,}$: o sistema apresenta oscilações com amplitude constante.

Caso não linear

Na prática, torna-se impossível construir um oscilador com fator de amortecimento exatamente igual a zero. Daí a necessidade de construir circuitos não lineares que controlem a amplitude de saída. As duas técnicas de controle mais utilizadas na prática são:

• Controlar o ganho ${\displaystyle k\,}$ do amplificador, de forma que ${\displaystyle k\,}$ aumente quando as amplitudes forem inferiores à desejada e diminua quando as amplitudes ultrapassarem o valor desejado. Este técnica é chamada de controle automático de ganho.
• Construir um amplificador não-linear (conformador) de forma que a relação entre ${\displaystyle v_{i}\,}$ e ${\displaystyle v_{o}\,}$ seja dada por uma relação da forma:
  • ${\displaystyle v_{o}=f(v_{i})\,}$

Onde ${\displaystyle f\,}$ é tipicamente uma função ímpar tal que:

• ${\displaystyle {\frac {df(v_{i})}{dv_{i}}}>k_{c},~~v_{i}=0\,}$
• ${\displaystyle {\frac {d^{2}f(v_{i})}{d^{2}v_{i}}}<0,~~{\hbox{em torno de }}v_{i}=0\,}$

Conformador como estabilizador de amplitude

Quando o circuito é construído usando um amplificador não-linear, tal que:

• ${\displaystyle v_{o}=f(v_{i})\,}$

a equação diferencial que rege as oscilições é dada por:

• ${\displaystyle {\frac {d^{2}v_{i}}{dt^{2}}}-\beta \left(k(v_{i})-k_{c}\right){\frac {dv_{i}}{dt}}+w_{0}^{2}v_{i}=0}$

onde ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{R_{1}C_{2}}}}$ e

• ${\displaystyle k(v_{i})={\frac {df(v_{i})}{dv_{i}}}\,}$

Uma aproximação consiste em supor a existência de uma solução períodica de período ${\displaystyle T\,}$ e analisar apenas a sua primeira harmônica ${\displaystyle v_{i}\,}$, :

• ${\displaystyle v_{i}=A\sin(2\pi t/T)\,}$

O ganho ponderado do amplificador linear para esta componente do sinal será dado por:

• ${\displaystyle {\tilde {k}}(A)={\frac {1}{AT{\sqrt {2}}}}\int _{0}^{T}f\left(A\sin(2\pi t/T)\right)\sin(2\pi t/T)dt\,}$

Temos que ${\displaystyle {\tilde {k}}(A)\,}$ é uma função da amplitude ${\displaystyle A\,}$, mas não depende do período ${\displaystyle T\,}$. Para pequenas oscilações, o ganho é dado por:

• ${\displaystyle \lim _{A\to 0}{\tilde {k}}(A)=\left.{\frac {df(v_{i})}{dv_{i}}}\right|_{v_{i}=0}>k_{c}\,}$

Se a função ${\displaystyle f\,}$ tiver derivada segunda negativa, então ${\displaystyle {\tilde {k}}(A)\,}$ é uma função decrescente em ${\displaystyle A\,}$. Vamos supor que existe uma amplitude crítica ${\displaystyle A_{c}\,}$ tal que:

• ${\displaystyle {\tilde {k}}{A_{c}}\left\{{\begin{array}{ll}>k_{c},&A<A_{c}\\=k_{c},&A=A_{c}\\<k_{c},&A>A_{c}\end{array}}\right.}$

então a solução ${\displaystyle A_{c}\sin(w_{o}t)\,}$ aproxima um ciclo limite estável da equação.

Notas e referências

Este artigo sobre eletrônica é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o. v d e