Nilpotente

Em matemática, um elemento x de um anel é nilpotente quando existe algum número natural n tal que ${\displaystyle x^{n}=0\,}$.

Definição

Um inteiro positivo ${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{m}^{a_{m}}}$, ${\displaystyle p_{i}}$ distinto, tem fatorização nilpotente se, e somente se, ${\displaystyle p_{i}^{k}\not \equiv 1~(mod~p_{j})}$ para todos os inteiros i, j e k com ${\displaystyle 1\leq k\leq a_{i}}$. Um inteiro positivo n é um número nilpotente se, e somente se, possui fatorização nilpotente.

Exemplo

• A matriz

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

é nilpotente porque A³ = 0.

• No anel ${\displaystyle \mathbb {Z} _{9}}$ a classe de equivalência de 3 é nilpotente, pois ${\displaystyle 3^{2}\equiv 0~(mod~9)}$

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