Equação polinomial

Em Matemática, equações polinomiais monovariáveis^[1] são expressões de uma variável da forma:

$${\displaystyle P(x)=0,}$$

• ${\displaystyle P(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots +a_{0},a_{n}\neq 0;}$
• ${\displaystyle x}$ é a incógnita;
• ${\displaystyle n}$ é o grau do polinômio (ou da equação);
• e os coeficientes ${\displaystyle a_{k}}$ são constantes (podendo ser números inteiros, racionais, reais, complexos ou, generalizando, elementos de certo anel predefinido)^[2].

"Resolver" uma equação polinomial significa calcular suas raízes, ou seja, encontrar quais são os valores de ${\displaystyle x}$ que tornam a equação verdadeira.^[3] Uma equação de grau ${\displaystyle n}$ possui sempre n raízes, sejam elas reais ou complexas.^[4] O conjunto com todas as raízes de uma equação polinomial é chamado conjunto solução dessa equação.^[5]

Todas as equações de 1° e 2° grau com coeficientes racionais podem ser resolvida por radicais, já equações de 3° e 4° grau podem ser resolvidas por radicais ou podem necessitar de cálculos trigonométricos. Equações de 5ª ordem ou superior não podem ser, em maioria, resolvidas por radicais, como afirma o teorema de Abel-Ruffini.^[6]

Fatoração

Toda equação polinomial pode ser fatorada em binômios de primeiro grau na forma ${\displaystyle P(x)=a_{n}(x-r_{1})\cdot (x-r_{2})...(x-r_{n}),}$ em que ${\displaystyle r_{1},r_{2},...,r_{n}}$são as raízes de P(x) (raízes da equação polinomial)^[5].

Exemplos

• ${\displaystyle x+34=0}$ é de grau 1 e sua única solução real é dada por: ${\displaystyle x=-34}$, pois se no lugar de x usarmos o -34 tornaremos a igualdade verdadeira:
  $${\displaystyle -34+34=0}$$

  
• ${\displaystyle x^{2}-4=0}$ é de grau 2 e possui 2 soluções reais: ${\displaystyle x=\pm 2}$, pois se no lugar de x usarmos o 2 ou o -2 tornaremos a igualdade verdadeira:
  $${\displaystyle 2^{2}-4=4-4=0}$$

  
  ${\displaystyle (-2)^{2}-4=4-4=0}$

• ${\displaystyle x^{2}-5x+4=0}$ é de grau 2 e possui 2 soluções reais: ${\displaystyle x=1}$ e ${\displaystyle x=4}$.
• ${\displaystyle x^{11}+x^{2}+x+7=0}$ é de grau 11 e sua única solução real é: ${\displaystyle x\approx -1.1971155422140012}$.

Ver também

• Polinômio
• Regra dos sinais de Descartes
• Equação do segundo grau
• Equação do terceiro grau
• Equação do quarto grau

Referências

Ligações externas

• Resolver Graficamente uma Equação Polinomial
• Resolver Graficamente uma Inequação Polinomial

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