Constante de Gauss

Em matemática, a constante de Gauss, denotada pela letra G, é definida como o inverso da média aritmética-geométrica de 1 e raiz quadrada de dois:[1][2][3][4]

G = 1 a g m ( 1 , 2 ) = 0 , 8346268 … {\displaystyle G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}=0,8346268\dots } [nota 1]

O epónimo dessa constante é o matemático alemão Carl Friedrich Gauss, porque, em 30 de maio de 1799, descobriu que:[5][6][7][8]

G = 2 π ∫ 0 1 d x 1 − x 4 {\displaystyle G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}

sendo que:

G = 1 2 π B ( 1 4 , 1 2 ) {\displaystyle G={\frac {1}{2\pi }}\mathrm {B} ({\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}},{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}})}

donde B denota a função beta de Euler.

Relações com outras constantes

A Constante de Gauss pode ser expressa usando o valor da função beta em (1/4, 1/2):

Γ ( 1 4 ) = 2 G 2 π 3 {\displaystyle \Gamma ({\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}})={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}}

ou novamente, graças ao valor da função gama em 1/4:

G = Γ ( 1 4 ) 2 / ( 2 π ) 3 / 2 {\displaystyle G=\Gamma ({\tfrac {1}{4}})^{2}/(2\pi )^{3/2}}

e como π e Γ(1/4) são algebricamente independentes, a Constante de Gauss é transcendental.

Constantes de Lemniscata

A Constante de Gauss também pode ser usada na definição das Constantes de Lemniscata.

  • A primeira constante é:
L 1 = π G {\displaystyle L_{1}\;=\;\pi G}
  • A segunda constante é:
L 2 = 1 2 G {\displaystyle L_{2}\,\,=\,\,{\frac {1}{2G}}}

que surgem em problemas de cálculo de comprimento do arco de uma lemniscata.

Outras fórmulas

A Constante de Gauss também pode ser expressa usando a função teta de Jacobi:

G = ϑ 01 2 ( e − π ) {\displaystyle G=\vartheta _{01}^{2}({\rm {e}}^{-\pi })} .

Uma série rapidamente convergente para a Constante de Gauss é:

G = 32 4   e − π 3 ( ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n e − 2 n π ( 3 n + 1 ) ) 2 {\displaystyle G={\sqrt[{4}]{32}}~{\rm {e}}^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}{\rm {e}}^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}} .

A constante também é dada por um produto infinito:

G = ∏ m = 1 ∞ tanh 2 ⁡ ( π m 2 ) {\displaystyle G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right)} .

A Constante de Gauss tem fração contínua [0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, …][nota 2]

Notas

  1. ↑ Para os primeiros 20 000 dígitos decimais, ver este link (sequência A014549 na OEIS).
  2. ↑ Para os primeiros 20 000 dígitos decimais, ver este link (sequência A053002 na OEIS).

Referências

  1. ↑ Gourdon (2020), p. 190.
  2. ↑ Weisstein, Eric W. «Constante de Gauss» (em inglês). MathWorld .
  3. ↑ Eymard & Lafond (1956).
  4. ↑ Keith B. Oldham; Jan C. Myland; Jerome Spanier (2009). An Atlas of Functions With Equator (em inglês). New York, NY: Springer. p. 15. ISBN 978-0-387-48806-6 .
  5. ↑ Barnett (2020), p. 47.
  6. ↑ Cox (1984), p. 281.
  7. ↑ Khelif (2010).
  8. ↑ Borwein & Bailey (2008).

Bibliografia

  • Janet Barnett (2020). A Gaussian tale for the classroom editor=Maria Zack et Dirk Schlimm (éd.). Col: Proceedings of the Canadian Society for History and Philosophy of Mathematics / Société canadienne d'histoire et de philosophie des mathématiques (em inglês) 1 ed. Basel, Suíça: Birkhäuser Verlag. pp. 139–155. ISBN 978-3-030-31196-4. OCLC 1240212492. doi:10.1007/978-3-030-31298-5  !CS1 manut: Falta pipe (link)
  • Jonathan Borwein; David H. Bailey (2008). Mathematics by experiment (em inglês) 2 ed. Flórida, EUA: CRC Press. ISBN 978-1-56881-442-1. OCLC 494547277. doi:10.1201/b10704 
  • David A. Cox (1984). «The arithmetic-geometric mean of Gauss» (pdf). L'Enseignement mathématique. 2 (em inglês): 275-330. OCLC 937363834. doi:10.5169/seals-53831 .
  • Pierre Eymard; Jean-Pierre Lafon (1956). «Le Journal mathématique de Gauss» (pdf). Revue d'histoire des sciences et de leurs applications. 1 (em francês): 21-51. JSTOR 23904695. OCLC 4649261821. doi:10.3406/rhs.1956.4346 .
  • Xavier Gourdon (2020). Analyse (em francês). Paris: Éditions Ellipses. ISBN 978-2-340-03856-1. OCLC 1160201780 .
  • Hamza Khelif (30 de junho de 2010). «Coup d'œil sur la lemniscate de Bernoulli». Images des mathématiques (em francês). Centre national de la recherche scientifique .