Zdarzenia losowe niezależne

Zdarzenia losowe niezależne – zdarzenia ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$ na pewnej ustalonej przestrzeni probabilistycznej ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ spełniające warunek

${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).}$

Taka postać warunku na niezależność zdarzeń ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ wynika z intuicyjnego stwierdzenia: zdarzenie ${\displaystyle A}$ nie zależy od zdarzenia ${\displaystyle B,}$ jeśli wiedza na temat zajścia ${\displaystyle B}$ nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zajścia ${\displaystyle A.}$

Wychodząc z tych intuicji można korzystając z pojęcia prawdopodobieństwa warunkowego podać równoważną definicję niezależności zdarzeń ${\displaystyle A,B{:}}$

${\displaystyle P(A|B)=P(A)}$

${\displaystyle P(B|A)=P(B)}$

przy założeniu ${\displaystyle P(A)\neq 0,\;P(B)\neq 0.}$

Niezależność można definiować także, dla większej liczby zdarzeń. I tak, jeżeli ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{m}\in {\mathcal {A}},}$ to mówimy, że są one niezależne, gdy spełniony jest warunek

${\displaystyle P(A_{i_{1}}\cap \ldots \cap A_{i_{k}})=P(A_{i_{1}})\cdot \ldots \cdot P(A_{i_{k}})}$ dla każdego układu indeksów ${\displaystyle i_{1},\dots ,i_{k}}$ oraz dla każdego ${\displaystyle k=1,2,\dots ,m.}$

Definicję niezależności można rozszerzyć na nieskończony układ zdarzeń. Dokładniej, mówimy, że zdarzenia ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots }$ są niezależne, gdy dla każdej liczby naturalnej n zdarzenia ${\displaystyle A_{i_{1}},\dots ,A_{i_{n}}}$ są niezależne.

Z drugiej strony definiuje się też zdarzenia losowe niezależne parami, co w przypadku (skończonego lub nieskończonego) ciągu zdarzeń ${\displaystyle (A_{i})}$ ma miejsce wtedy, gdy dowolna para zdarzeń z tego ciągu jest niezależna. Warunek ten jest słabszy od warunku „pełnej” niezależności zdarzeń.

Własności

• Z definicji wynika, że dwa zdarzenia rozłączne są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedno z nich ma prawdopodobieństwo zerowe. Mylenie zdarzeń niezależnych z rozłącznymi jest często występującym i bardzo poważnym błędem.
• Gdy zdarzenia ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}}$ są niezależne, to zdarzenia do nich przeciwne ${\displaystyle A_{1}',\dots ,A_{n}'}$ też są niezależne oraz:

${\displaystyle P\left(\bigcup _{k=1}^{n}A_{k}\right)=P\left(\left(\bigcap _{k=1}^{n}A_{k}'\right)'\right)=1-P\left(\bigcap _{k=1}^{n}A_{k}'\right)=1-\prod _{k=1}^{n}P(A_{k}')=1-\prod _{k=1}^{n}(1-P(A_{k})).}$

Porównaj: prawa De Morgana.

Niezależność σ-ciał

σ-ciała ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1},\dots ,{\mathcal {F}}_{n},}$ gdzie ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}\subseteq {\mathcal {A}}}$ dla ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$ nazywamy niezależnymi, gdy dla dowolnych ${\displaystyle A_{1}\in {\mathcal {F}}_{1},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {F}}_{n}}$

${\displaystyle P(A_{1}\cap \ldots \cap A_{n})=P(A_{1})\cdot \ldots \cdot P(A_{n}).}$

Jeżeli ${\displaystyle A_{1}\in {\mathcal {F}}_{1},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {F}}_{n},}$ to przez ${\displaystyle \sigma (A_{i})}$ rozumiemy σ-ciało generowane przez zdarzenie ${\displaystyle A_{i},}$ tzn. najmniejsze σ-ciało zawierające zbiór ${\displaystyle A_{i}.}$ Dokładniej, dla ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$

${\displaystyle \sigma (A_{i})=\{\varnothing ,\Omega ,A_{i},\Omega \setminus A_{i}\}.}$

Używając tych definicji, niezależność skończonej liczby zdarzeń można scharakteryzować w następujący sposób: zdarzenia ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}}$ są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy σ-ciała ${\displaystyle \sigma (A_{1}),\dots ,\sigma (A_{n})}$ są niezależne.

Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu statystyki
• zależność zmiennych losowych

Bibliografia

• Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004, s. 43–47.
• Przystępne wyjaśnienie niezależności zdarzeń na przykładzie