Zbiór typu F-sigma

Ten artykuł od 2012-08 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywamy zbiorem typu ${\displaystyle F_{\sigma }}$ (czytamy: „zbiór typu ef sigma”), gdy jest on sumą przeliczalnej rodziny zbiorów domkniętych.

Każdy zbiór domknięty jest typu ${\displaystyle F_{\sigma };}$ w przestrzeniach metryzowalnych każdy zbiór otwarty jest również tego typu – ogólnie w przestrzeniach doskonale normalnych każdy zbiór otwarty jest ${\displaystyle F_{\sigma }.}$

Dopełnienie zbioru typu ${\displaystyle F_{\sigma }}$ nazywamy zbiorem typu G-delta ${\displaystyle (G_{\delta }).}$

Suma przeliczalnej rodziny zbiorów typu ${\displaystyle F_{\sigma }}$ oraz przekrój skończonej rodziny takich zbiorów jest znów zbiorem typu ${\displaystyle F_{\sigma }.}$

Nazwa „zbiór typu ${\displaystyle F_{\sigma }}$” wzięła się ze zwyczaju oznaczania zbiorów domkniętych literą ${\displaystyle F,}$ a indeksem ${\displaystyle \sigma }$ – operacji przeliczalnej sumy. Zgodnie z taką konwencją przeliczalne przekroje zbiorów typu ${\displaystyle F_{\sigma }}$ są zbiorami typu ${\displaystyle F_{\sigma \delta }}$, ich przeliczalne sumy – zbiorami typu ${\displaystyle F_{\sigma \delta \sigma }}$ itd. Jeśli rozważaną przestrzenią jest ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ to otrzymuje się w ten sposób coraz szersze klasy zbiorów borelowskich w ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Alternatywnym oznaczeniem na klasę zbiorów typu F_σ jest ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{2}^{0}.}$

Przykłady

• Zbiór liczb wymiernych jest typu ${\displaystyle F_{\sigma }.}$
• Zbiór liczb niewymiernych nie jest typu ${\displaystyle F_{\sigma }.}$ Wynika to z tego, że liczby niewymierne są gęstym zbiorem typu ${\displaystyle G_{\delta }.}$ Gdyby liczby niewymierne były typu zbiorem ${\displaystyle F_{\sigma },}$ to zbiór liczb wymiernych byłby gęstym zbiorem typu ${\displaystyle G_{\sigma }.}$ Wówczas ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dałby się przedstawić jako suma dwóch rozłącznych zbiorów gęstych typu ${\displaystyle G_{\delta },}$ co wobec twierdzenia Baire’a jest niemożliwe.