Twierdzenie Toeplitza

Twierdzenie Toeplitza (nazywane również twierdzeniem Toeplitza o regularnym przekształceniu ciągu) zostało sformułowane w 1911 roku przez matematyka niemieckiego Ottona Toeplitza^[1]. Mówi ono o zbieżności szeregu powstałego przez pewne przekształcenie zbieżnego ciągu liczb rzeczywistych.

Przykład

Zachodzi następujące twierdzenie

Niech ${\displaystyle (t_{n})}$ będzie zbieżnym do ${\displaystyle t}$ ciągiem liczb rzeczywistych. Wtedy zbieżny jest również ciąg ${\displaystyle \left({\tfrac {t_{1}+t_{2}+\ldots +t_{n}}{n}}\right)}$ i ma granicę równą ${\displaystyle t.}$

Dowód. Skoro ${\displaystyle t_{n}\to t}$ dla ${\displaystyle n\to \infty ,}$ to dla dowolnego ${\displaystyle \varepsilon >0}$ istnieje liczba naturalna ${\displaystyle k,}$ taka że ${\displaystyle |t_{n}-t|<\varepsilon ,}$ dla ${\displaystyle n>k.}$ Stąd ${\displaystyle t-\varepsilon <t_{i}<t+\varepsilon }$ dla ${\displaystyle i=k+1,k+2,\dots ,n.}$ Sumując stronami powyższe nierówności, a następnie dzieląc przez ${\displaystyle n-k}$ otrzymujemy

(*)   ${\displaystyle t-\varepsilon <{\frac {t_{k+1}+t_{k+2}+\ldots +t_{n}}{n-k}}<t+\varepsilon .}$

Ponadto oczywiście ${\displaystyle {\tfrac {t_{1}+t_{2}+\ldots +t_{k}}{n}}\to 0}$ gdy ${\displaystyle n\to \infty ,}$ co w połączeniu z (*) implikuje tezę.

Zauważmy, że wyrazy ciągu ${\displaystyle \left({\tfrac {t_{1}+t_{2}+\ldots +t_{n}}{n}}\right)}$ możemy zapisać jako ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\tfrac {1}{n}}t_{k}.}$ Naturalnym wydaje się pytanie, kiedy ciągi ${\displaystyle (s_{n})}$ o wyrazach postaci ${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k,n}t_{k}}$ będą zbieżne i czy ich granicą będzie ${\displaystyle t.}$

Twierdzenie Toeplitza

Niech ${\displaystyle (a_{k,n})}$ będzie nieskończonym układem liczb rzeczywistych, przy czym ${\displaystyle 1\leqslant k\leqslant n.}$ Ponadto niech ${\displaystyle (t_{n})}$ będzie zbieżnym ciągiem liczb rzeczywistych o granicy ${\displaystyle t.}$ Jeśli spełnione są poniższe warunki

(1)   ${\displaystyle a_{k,n}\to 0}$ dla ${\displaystyle n\to \infty }$ i dowolnie ustalonej liczby naturalnej ${\displaystyle k,}$

(2)   ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k,n}\to 1}$ dla ${\displaystyle n\to \infty ,}$

(3)   ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|a_{k,n}|\leqslant M}$ dla pewnej liczby ${\displaystyle M>0}$ oraz wszystkich ${\displaystyle n,}$

to ciąg ${\displaystyle (s_{n}),}$ określony wzorem ${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k,n}t_{k}}$ dla ${\displaystyle n\geqslant 1}$ jest zbieżny do ${\displaystyle t.}$

Twierdzenie odwrotne

Zachodzi również twierdzenie odwrotne.

Niech ${\displaystyle (a_{k,n})}$ będzie nieskończonym układem liczb rzeczywistych, przy czym ${\displaystyle 1\leqslant k\leqslant n.}$ Jeśli dla każdego zbieżnego ciągu liczb rzeczywistych ${\displaystyle (t_{n}),}$ ciąg ${\displaystyle (s_{n})}$ określony wzorem ${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k,n}t_{k}}$ jest zbieżny do granicy ciągu ${\displaystyle (t_{n}),}$ to

(1)   ${\displaystyle a_{k,n}\to 0}$ dla ${\displaystyle n\to \infty }$ i dowolnie ustalonej liczby naturalnej ${\displaystyle k,}$

(2)   ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k,n}\to 1}$ dla ${\displaystyle n\to \infty ,}$

(3)   istnieje liczba ${\displaystyle M>0,}$ taka że ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|a_{k,n}|\leqslant M}$ dla wszystkich ${\displaystyle n.}$

Przypisy