Twierdzenie Plancherela – twierdzenie z zakresu analizy harmonicznej, udowodnione przez Michela Plancherela w 1910 roku[1]. Głosi ono, że istnieje odwzorowanie
o następujących własnościach:
- dla
jest ![{\displaystyle F(f)={\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8bbbd2dab27b5b2c8abc3d5c094968bc386a3a8)
- dla dowolnej
jest ![{\displaystyle \|f\|_{2}=\|{\hat {f}}\|_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cceee7f5aabe16944ff4f8390686c0f7ef27a35f)
jest izometrią przestrzeni
na siebie - jeśli
oraz ![{\displaystyle \vartheta _{A}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-A}^{A}{\hat {f}}(x)\,e^{i\omega x}\,d\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c48435ce8f3ee8e904a872031b2f7eb39efb6e12)
to
oraz
przy
Przekształcenie
określa transformatę Fouriera (Fouriera-Plancherela) na przestrzeni
Na podprzestrzeni
jest to klasyczna transformata Fouriera funkcji całkowalnej. Ostatni podpunkt wskazuje metodę rozszerzenia transformaty i transformaty odwrotnej na całą
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Plancherel, Michel (1910) „Contribution a l’etude de la representation d’une fonction arbitraire par les integrales définies,” Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 30, s. 298–335.
Bibliografia
- Walter Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona. Warszawa: PWN, 1996. ISBN 83-01-05124-8. Brak numerów stron w książce
- Kôsaku Yoshida: Functional Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. Brak numerów stron w książce