Twierdzenie Goldstine’a

Twierdzenie Goldstine’a – twierdzenie mówiące, że obraz kuli jednostkowej B X {\displaystyle B_{X}} przestrzeni unormowanej X {\displaystyle X} poprzez kanoniczne odwzorowanie w drugą przestrzeń sprzężoną X ∗ ∗ {\displaystyle X^{**}}

κ X : X → X ∗ ∗ , ⟨ κ X x , f ⟩ = ⟨ f , x ⟩ ( x ∈ X , f ∈ X ∗ ) {\displaystyle \kappa _{X}\colon X\to X^{**},\langle \kappa _{X}x,f\rangle =\langle f,x\rangle \quad (x\in X,f\in X^{*})}

jest gęsty w kuli jednostkowej B X ∗ ∗ {\displaystyle B_{X^{**}}} przestrzeni X ∗ ∗ {\displaystyle X^{**}} w sensie *-słabej topologii (tzn. topologii σ ( X ∗ ∗ , X ∗ ) {\displaystyle \sigma (X^{**},X^{*})} ), tj.

κ X ( B X ) ¯ w ∗ = B X ∗ ∗ . {\displaystyle {\overline {\kappa _{X}(B_{X})}}^{\mathrm {w} ^{*}}=B_{X^{**}}.}

W szczególności, obraz samej przestrzeni X {\displaystyle X} poprzez odwzorowanie κ X {\displaystyle \kappa _{X}} jest gęsty w X ∗ ∗ {\displaystyle X^{**}} w sensie *-słabej topologii.

Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Hermana Heine Goldstine’a, który udowodnił nieco mniej ogólną jego wersję w 1938 roku[1].

Dowód

Z wypukłości kuli B X {\displaystyle B_{X}} oraz liniowości κ X {\displaystyle \kappa _{X}} wynika, że obraz κ X ( B X ) {\displaystyle \kappa _{X}(B_{X})} jest wypukłym podzbiorem X ∗ ∗ . {\displaystyle X^{**}.} Ponieważ X ∗ ∗ {\displaystyle X^{**}} z *-słabą topologią jest przestrzenią liniowo-topologiczną, domknięcie κ X ( B X ) {\displaystyle \kappa _{X}(B_{X})} jest również zbiorem wypukłym. Jako zbiór *-słabo domknięty w B X ∗ ∗ , {\displaystyle B_{X^{**}},} z twierdzenia Banacha-Alaoglu, jest on *-słabo zwarty. Gdyby zbiór ten nie był całą kulą B X ∗ ∗ , {\displaystyle B_{X^{**}},} to istniałby funkcjonał φ ∈ B X ∗ ∗ , {\displaystyle \varphi \in B_{X^{**}},} który nie należy do domknięcia κ X ( B X ) . {\displaystyle \kappa _{X}(B_{X}).} Z twierdzenia o oddzielaniu istniałby wówczas funkcjonał f ∈ X ∗ {\displaystyle f\in X^{*}} oraz liczba a > 0 {\displaystyle a>0} o tej własności, że

R e ⟨ κ X ∗ f , φ ⟩ > a > sup { R e ⟨ κ X ∗ f , x ⟩ : x ∈ κ X ( B X ) ¯ w ∗ } = sup { | ⟨ κ X ∗ f , x ⟩ | : x ∈ κ X ( B X ) ¯ w ∗ } . {\displaystyle \mathrm {Re} \,\langle \kappa _{X^{*}}f,\varphi \rangle >a>\sup {\big \{}\mathrm {Re} \,\langle \kappa _{X^{*}}f,x\rangle \colon x\in {\overline {\kappa _{X}(B_{X})}}^{\mathrm {w} ^{*}}{\big \}}=\sup {\big \{}|\langle \kappa _{X^{*}}f,x\rangle |\colon x\in {\overline {\kappa _{X}(B_{X})}}^{\mathrm {w} ^{*}}{\big \}}.}

Z drugiej jednak strony,

sup { | ⟨ κ X ∗ f , x ⟩ | : x ∈ κ X ( B X ) ¯ w ∗ } = sup { | ⟨ x , f ⟩ | : x ∈ κ X ( B X ) ¯ w ∗ } ⩾ sup { | ⟨ x , f ⟩ | : x ∈ κ X ( B X ) } = sup { | ⟨ f , x ⟩ | : x ∈ B X } = ‖ f ‖ . {\displaystyle {\begin{aligned}&\sup {\big \{}|\langle \kappa _{X^{*}}f,x\rangle |\colon x\in {\overline {\kappa _{X}(B_{X})}}^{\mathrm {w} ^{*}}{\big \}}\\={}&\sup {\big \{}|\langle x,f\rangle |\colon x\in {\overline {\kappa _{X}(B_{X})}}^{\mathrm {w} ^{*}}{\big \}}\\\geqslant {}&\sup {\big \{}|\langle x,f\rangle |\colon x\in \kappa _{X}(B_{X}){\big \}}\\={}&\sup {\big \{}|\langle f,x\rangle |\colon x\in B_{X}{\big \}}\\={}&\|f\|.\end{aligned}}}

To jednak prowadzi do sprzeczności, gdyż

| R e ⟨ κ X ∗ f , φ ⟩ | ⩽ | ⟨ κ X ∗ f , φ ⟩ | = | ⟨ φ , f ⟩ | ⩽ ‖ φ ‖ ⋅ ‖ f ‖ ⩽ ‖ f ‖ {\displaystyle |\mathrm {Re} \,\langle \kappa _{X^{*}}f,\varphi \rangle |\leqslant |\langle \kappa _{X^{*}}f,\varphi \rangle |=|\langle \varphi ,f\rangle |\leqslant \|\varphi \|\cdot \|f\|\leqslant \|f\|}

(bo φ {\displaystyle \varphi } należy do B X ∗ ∗ {\displaystyle B_{X^{**}}} ), ale

‖ f ‖ < R e ⟨ κ X ∗ f , φ ⟩ {\displaystyle \|f\|<\mathrm {Re} \,\langle \kappa _{X^{*}}f,\varphi \rangle } [2][3].

Uwagi

W 1948 Jacques Dixmier udowodnił, że twierdzenie w pewnym sensie przeciwne w konktekście *-słabych topologii w przestrzeni sprzężonej nie jest prawdziwe. Dokładniej, istnieje przestrzeń Banacha X {\displaystyle X} o tej własności, że dla pewnej podprzestrzeni F {\displaystyle F} jej przestrzeni sprzężonej X ∗ , {\displaystyle X^{*},} która jest *-słabo gęsty i dla każdego 0 < r ⩽ 1 {\displaystyle 0<r\leqslant 1} zbiór

B r ∩ F {\displaystyle B_{r}\cap F}

nie jest *-słabo gęsty. B r {\displaystyle B_{r}} oznacza kulę w przestrzeni X ∗ {\displaystyle X^{*}} o środku w zerze i promieniu r {\displaystyle r} [4].

Przypisy

  1. ↑ H.H. Goldstine, Weakly complete Banach spaces, „Duke Math. J.”, 4 (1938), 125–131.
  2. ↑ Morrison 2001 ↓, s. 127–128.
  3. ↑ Megginson 1998 ↓, s. 232.
  4. ↑ J. Diximer, Sur un théorème de Banach. Duke Math. J. 15 (1948), s. 1057–1071.

Bibliografia

  • Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. New York: Springer-Verlag, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
  • Terry J. Morrison: Functional Analysis: An Introduction to Banach Space Theory. New York: John Wiley & Sons, Inc., 2001. ISBN 978-0-471-37214-1.
  • Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976.