Tablica Cayleya

Tablica Cayleya – dla danego grupoidu (G, ·), macierz kwadratowa, której wiersze i kolumny są ponumerowane elementami grupoidu (w takiej samej kolejności), a w komórce znajdującej się na przecięciu a-tego wiersza i b-tej kolumny znajduje się iloczyn ab. Tablice Cayleya konstruuje się na ogół dla grupoidów rzędu skończonego, ale czasem korzystnie jest rozważać tablice Cayleya grupoidów rzędu nieskończonego^[1]. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska brytyjskiego matematyka, Arthura Cayleya, który wprowadził je w 1854 w jednej ze swoich prac^[2].

Przykładowo, dodawanie w Z₂={0,1} obrazuje tablica:

+	0	1
0	0	1
1	1	0

a mnożenie w Z₆ = {0, 1, 2, 3, 4, 5} tablica:

${\displaystyle \cdot }$	0	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5
2	0	2	4	0	2	4
3	0	3	0	3	0	3
4	0	4	2	0	4	2
5	0	5	4	3	2	1

Własności tablicy Cayleya

• Tablica Cayleya grupoidu jest symetryczna względem głównej przekatnej wtedy i tylko wtedy, gdy działanie grupoidu jest przemienne. Obie wyżej cytowane tablice Cayleya ilustrują działania przemienne.

Grupa D₃ symetrii trójkąta równobocznego ma następującą tablicę Cayleya:

	R0	R1	R2	S0	S1	S2
R0	R0	R1	R2	S0	S1	S2
R1	R1	R2	R0	S1	S2	S0
R2	R2	R0	R1	S2	S0	S1
S0	S0	S2	S1	R0	R2	R1
S1	S1	S0	S2	R1	R0	R2
S2	S2	S1	S0	R2	R1	R0

${\displaystyle D_{3}=\{R_{0},R_{1},R_{2},S_{0},S_{1},S_{2}\},}$ gdzie:

• ${\displaystyle R_{0}}$ jest przekształceniem identycznościowym
• ${\displaystyle R_{1}}$ jest obrotem dokoła środka trójkąta równobocznego o 120°
• ${\displaystyle R_{2}}$ jest obrotem dokoła środka trójkąta równobocznego o 240°
• ${\displaystyle S_{0},S_{1},S_{2}}$ są symetriami osiowymi względem symetralnych boków trójkąta

Jak widać, działanie w grupie D₃ nie jest przemienne, bo tabela nie jest symetryczna względem głównej przekątnej.

• Wiersz (kolumna) wyznaczony przez element neutralny działania jest identyczny z wierszem (kolumną) nagłówkowym.
• Jeśli grupoid jest grupą, to w każdym wierszu (w każdej kolumnie) tabeli Cayleya znaleźć można dokładnie raz element neutralny działania.
• Z tabeli Cayleya nie można bezpośrednio odczytać, czy działanie jest łączne. Są jednak metody, które pozwalają wykorzystać to narzędzie pośrednio, na przykład test łączności Lighta.

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Cayley table (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].