Stopa hazardu

Stopa hazardu^[1] – pochodna funkcji hazardu. Określa zbliżający się moment bankructwa danej firmy w najbliższej przyszłości. Potocznie nazywany natychmiastową stopą bankructwa.

Wzór

Stopa hazardu spełnia zależność:

${\displaystyle \Gamma _{P}(t)=\int \limits _{0}^{t}\gamma _{P}(s)ds,}$ dla każdego ${\displaystyle t\geqslant 0,}$

gdzie:

${\displaystyle \Gamma _{P}(t)}$ – funkcja hazardu,

${\displaystyle \gamma _{P}(t)}$ – stopa hazardu.

Własności

Twierdzenie

Jeżeli zmienna ${\displaystyle \tau }$ posiada gęstość ${\displaystyle {\mathcal {f}}_{P},}$ wówczas istnieje stopa hazardu dana wzorem:

${\displaystyle \gamma _{P}(t)={\frac {{\mathcal {f}}_{P}(t)}{1-F_{P}(t)}}.}$

Odwrotnie, jeżeli stopa hazardu ${\displaystyle \gamma _{P}}$ istnieje, wówczas ${\displaystyle \tau }$ posiada gęstość postaci:

${\displaystyle {\mathcal {f}}_{P}(t)=\gamma _{P}(t)e^{-\Gamma _{P}(t)}.}$

Dowód

Załóżmy, że ${\displaystyle \tau }$ ma gęstość ${\displaystyle {\mathcal {f}}_{P}.}$ Chcemy pokazać, że:

${\displaystyle \int _{0}^{t}{\frac {{\mathcal {f}}_{P}(s)}{1-F_{P}(s)}}ds=\Gamma _{P}(t)}$

Wyliczając całkę po lewej, otrzymujemy:

${\displaystyle \int _{0}^{t}{\frac {{\mathcal {f}}_{P}(s)}{1-F_{P}(s)}}ds=\int _{0}^{t}{\frac {F'_{P}(s)}{1-F_{P}(s)}}ds=-ln(1-F_{P}(t))=\Gamma _{P}(t),}$

gdyż ${\displaystyle {\mathcal {f}}_{P}(s)=F'_{P}(s)}$ dla prawie wszystkich ${\displaystyle s\in [0,\infty ).}$

Jeżeli stopa hazardu ${\displaystyle \gamma _{P}}$ istnieje i ${\displaystyle {\mathcal {\gamma }}_{P}(t)=\Gamma '_{P}(t)}$ dla prawie wszystkich ${\displaystyle t\in [0,\infty ),}$ wówczas dystrybuanta wyraża się wzorem:

${\displaystyle F_{P}(t)=1-e^{-\Gamma _{P}(t)},}$

gdzie po zróżniczkowaniu otrzymujemy:

${\displaystyle F'_{P}(t)=\gamma _{P}(t)e^{-\Gamma _{P}(t)}={\mathcal {f}}_{P}(t)}$ dla prawie wszystkich ${\displaystyle t\in [0,\infty ).}$ ${\displaystyle \Box }$

Przykłady

• Jeżeli moment bankructwa ma rozkład wykładniczy to dla każdego ${\displaystyle t\geqslant 0{:}}$

${\displaystyle \gamma _{P}(t)=\lambda ,}$

${\displaystyle \Gamma _{P}(t)=\lambda t.}$

• Dla rozkładu gamma o parametrach ${\displaystyle k=3}$ oraz ${\displaystyle \theta =2}$ stopa hazardu wyraża się wzorem:

${\displaystyle \gamma _{P}(t)={\frac {4t^{2}}{2t^{2}+2t+1}},}$ dla każdego ${\displaystyle t\geqslant 0.}$

Przypisy