Przestrzeń Sobolewa – przestrzeń Banacha funkcji będących elementami przestrzeni Lp, których słabe pochodne (ustalonego rzędu) istnieją i również należą do Lp[1]. Przestrzenie Sobolewa są stosowane w teorii równań różniczkowych cząstkowych i rachunku wariacyjnym[1].
Konstrukcja
Niech
i
będą ustalonymi liczbami naturalnymi,
będzie liczbą z przedziału
oraz
będzie otwartym podzbiorem
Przestrzenią Sobolewa
nazywa się przestrzeń wszystkich tych funkcji
dla których
gdzie
jest wielowskaźnikiem spełniającym warunek
![{\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\dots +\alpha _{n}\leqslant m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/813ac2f752993f7ceab606911adbfd3901c385cf)
oraz symbol
oznacza słabą pochodną funkcji
rzędu
Przestrzeń
jest przestrzenią Banacha z normą daną wzorem
![{\displaystyle \|u\|_{W^{m,p}}=(\sum _{|\alpha |\leqslant m}\|D^{\alpha }u\|_{L^{p}}^{p})^{\frac {1}{p}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5da75def9825f63830ce2dcc1ff742650c5b9e5)
w przypadku
oraz:
![{\displaystyle \|u\|_{W^{m,p}}=\sum _{|\alpha |\leqslant m}\|D^{\alpha }u\|_{L^{\infty }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5676727eb2f148b7d6f44de9e0ce122404177232)
w przypadku
Własności
![{\displaystyle W^{0,p}(\Omega )=L^{p}(\Omega ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c5e7e60fe20c2a34813ea38f418fa6f34f13357)
- Przestrzeń
jest przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym danym wzorem
![{\displaystyle \langle u,v\rangle _{H^{m}}=\sum _{|\alpha |\leqslant m}\langle D^{\alpha }u,D^{\alpha }v\rangle _{L^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/910b89ce75bb6fb07b36acc56bd453de412bab2d)
Przestrzenie sprzężone do przestrzeni Sobolewa
Przestrzeń sprzężona do przestrzeni Sobolewa
dla
jest izometrycznie izomorficzna z pewną podprzestrzenią przestrzeni dystrybucji na
(podprzestrzeń ta jest wyposażona w normę związaną z normą w przestrzeni Sobolewa – przestrzeń dystrybucji nie jest przestrzenią normowalną).
Niech
oznacza liczbę wszystkich wielowskaźników o długości (sumie) nie większej od
tzn.
![{\displaystyle N=\sum _{1\leqslant |\alpha |\leqslant m}\ 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e33b6bef7a7695dd2e7b84d15b9d6f87a08a913)
oraz
Przestrzeń
jest przestrzenią Banacha z normą
![{\displaystyle \|(u_{1},\dots ,u_{N})\|=\left(\sum _{j=1}^{N}(\|u_{j}\|_{L^{p}})^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70b37c973b0d81d7ef607d94bde6266715eb48ba)
Przestrzeń sprzężona
jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią złożoną z tych dystrybucji
na
dla których
![{\displaystyle T=\sum _{1\leqslant |\alpha |\leqslant m}\ (-1)^{|\alpha |}D^{\alpha }T_{v_{\alpha }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c428c2a15ad7a420ccd57913147a7f6b6e53a56)
dla pewnego
oraz
jest wykładnikiem sprzężonym do
Ponadto,
![{\displaystyle \|T\|_{Y}=\inf \|v\|_{L_{N}^{q}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fc7daf9cec4ab096b60931603eb11551b9ca393)
gdzie kres brany jest po wszystkich
dla których
można przedstawić w powyższej postaci.
Istnieje inny sposób charakteryzacji przestrzeni
dla
Przestrzeń
można utożsamiać z uzupełnieniem przestrzeni
![{\displaystyle L^{q}(\Omega ):=L_{\sim }^{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64847a459b4d8f1b2698ed52cd4771ac19dc6d6c)
wyposażonej w normę
![{\displaystyle \|v\|_{L_{\sim }^{q}}=\sup\{\langle u,v\rangle \colon \,u\in W^{m,p}(\Omega ),\|u\|_{W^{m,p}(\Omega )}\leqslant 1\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97b4f88a7fdc8febf66714ff5f6bcdb64f3037d4)
tzn.
![{\displaystyle (W^{m,p}(\Omega ))^{*}={\overline {L_{\sim }^{q}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b38e8bb2e6da7307926ba3de54969b6ed976b13d)
gdzie
jest wykładnikiem sprzężonym do
Przypisy
- ↑ a b przestrzenie Sobolewa, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2022-02-18] .
Bibliografia
- Lawrence C. Evans: Równania różniczkowe cząstkowe. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002. Brak numerów stron w książce
Struktury na przestrzeniach liniowych