Potencjał wektorowy

Potencjał wektorowy pola wektorowego – pojęcie w analizie wektorowej sformułowane w analogii do pojęcia potencjału skalarnego. Przykładem potencjału wektorowego jest potencjał magnetyczny w elektrodynamice klasycznej.

Potencjałem wektorowym pola ${\displaystyle \mathbf {B} }$ nazywamy taką funkcję ${\displaystyle \mathbf {A} }$ (również będącą polem wektorowym), której rotacja jest tożsama z polem ${\displaystyle \mathbf {B} }$^[1].

${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} .}$

Definicja ta nie określa funkcji ${\displaystyle \mathbf {A} }$ jednoznacznie, z uwagi na liniowość operatora rotacji i fakt, że rotacja gradientu pola skalarnego jest zerowa. W konsekwencji, dla dowolnego pola skalarnego ${\displaystyle f,}$ różniczkowalnego w sposób ciągły, zachodzi równość

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\nabla \times (\mathbf {A} +\nabla f).}$

Potencjał wektorowy można wprowadzić tylko dla pola bezźródłowego (o zerowej dywergencji)^[1], co zdeterminowane jest przez tożsamość

${\displaystyle \nabla \cdot \nabla \times \mathbf {A} =0.}$

Jeżeli pole ${\displaystyle \mathbf {B} }$ jest bezźródłowe, a do tego znika w nieskończoności, to jego potencjał wektorowy ${\displaystyle \mathbf {A} }$ określony jest całką po całej przestrzeni ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \mathbf {A} =\int _{V}{\frac {\nabla \times \mathbf {B} }{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r} ',}$

zgodnie z twierdzeniem Helmholtza^[2].

Przypisy