Rys. 1. Potęga punktu na zewnątrz okręgu jest równa kwadratowi długości stycznej poprowadzonej z punktu A do okręgu o Rys. 2. Potęga punktu wewnątrz okręgu jest liczbą przeciwną do kwadratu połowy najkrótszej cięciwy okręgu o przechodzącej przez punkt A Potęga punktu A {\displaystyle A} względem okręgu o {\displaystyle o} – liczba równa P ( A , o ) = | A O | 2 − r 2 , {\displaystyle P(A,o)=|AO|^{2}-r^{2},} gdzie O {\displaystyle O} jest środkiem okręgu o , {\displaystyle o,} r {\displaystyle r} jego promienieniem[1] [2] . Z definicji wynika, że
P ( A , o ) > 0 {\displaystyle P(A,o)>0} dla punktu leżącego na zewnątrz okręgu. P ( A , o ) {\displaystyle P(A,o)} jest wtedy równe kwadratowi długości stycznej poprowadzonej z punktu A {\displaystyle A} do okręgu o {\displaystyle o} (rys. 1). P ( A , o ) < 0 {\displaystyle P(A,o)<0} dla punktu leżącego wewnątrz okręgu. P ( A , o ) {\displaystyle P(A,o)} jest liczbą przeciwną do kwadratu połowy najkrótszej cięciwy okręgu o {\displaystyle o} przechodzącej przez punkt A {\displaystyle A} (rys. 2). P ( A , o ) = 0 {\displaystyle P(A,o)=0} dla punktów A {\displaystyle A} leżących na okręgu. Punkty o stałej potędze względem danego okręgu leżą na jednym okręgu.
Twierdzenie. Niech będzie dany punkt A . Jeśli punkty B , C {\displaystyle B,C} będą punktami przecięcia dowolnej prostej k {\displaystyle k} przechodzącej przez punkt A {\displaystyle A} z okręgiem o , {\displaystyle o,} to
P ( A , o ) = | A B | ⋅ | A C | , {\displaystyle P(A,o)=|AB|\cdot |AC|,} jeśli A leży na zewnątrz okręgu, P ( A , o ) = − | A B | ⋅ | A C | , {\displaystyle P(A,o)=-|AB|\cdot |AC|,} jeśli A leży wewnątrz okręgu. Jeśli punkt D {\displaystyle D} jest punktem styczności prostej k {\displaystyle k} z okręgiem, to
P ( A , o ) = | A D | 2 {\displaystyle P(A,o)=|AD|^{2}} [3] . Dowód. Zgodnie z twierdzeniem o siecznych iloczyn | A B | ⋅ | A C | {\displaystyle |AB|\cdot |AC|} jest taki sam niezależnie od wyboru cięciwy wyznaczonej przez k . {\displaystyle k.} Jeśli jedną z tych cięciw będzie średnica okręgu, to zajdzie równość | A B | ⋅ | A C | = ( | A O | − r ) ⋅ ( | A O | + r ) = | A O | 2 − r 2 . {\displaystyle |AB|\cdot |AC|=(|AO|-r)\cdot (|AO|+r)=|AO|^{2}-r^{2}.} Stąd teza.
W przypadku punktu leżącego wewnątrz okręgu dowód jest analogiczny.
Przypisy ↑ П.С. Александров, А.И. Маркушевич, А.Я. Хинчин: Энциклопедия элементарной математики . Wyd. 1. T. 4: Геометрия. Москва. s. 454–458. ↑ potęga punktu względem okręgu , [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-02] . ↑ H. S. M. Coxeter: Wstęp do geometrii dawnej i nowej . Warszawa: PWN, 1967, s. 97–98. Okręgi
relacje między odcinkiem a okręgiem prostą a okręgiem kątem a okręgiem okręgiem a wielokątem okręgiem a parą punktów okręgiem a sferą
figury definiowane okręgamitwierdzenia problemy (zadania)okręgi w kartezjańskim układzie współrzędnych narzędzia inne pojęcia uogólnienia