Morfizm uniwersalny

Definicja i proste własności morfizmu uniwersalnego

Morfizm ${\displaystyle u\colon X\to Y}$ w kategorii ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ nazywamy uniwersalnym^[1], gdy dla dowolnego morfizmu ${\displaystyle f\colon X\to Y,}$ w tejże kategorii ${\displaystyle {\boldsymbol {C}},}$ istnieje obiekt ${\displaystyle P}$ oraz morfizm ${\displaystyle p\colon P\to X}$ taki, że:

${\displaystyle f\circ p=u\circ p.}$

Obiekt ${\displaystyle X}$ nazywa się stabilnym (uogólnienie przestrzeni topologicznej, mającej własność punktu stałego) gdy identyczność ${\displaystyle i_{X}\colon X\to X}$ jest morfizmem uniwersalnym.

• Jeżeli morfizm ${\displaystyle g\circ f}$ jest uniwersalny, to ${\displaystyle g}$ też jest morfizmem uniwersalnym.
• Jeżeli ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ jest morfizmem uniwersalnym, to ${\displaystyle Y}$ jest obiektem stabilnym.
• Jeżeli ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ jest morfizmem stabilnym oraz ${\displaystyle r\colon Y\to Z}$ jest retrakcją, to ${\displaystyle r\circ f}$ jest morfizmem stabilnym.
• Jeżeli ${\displaystyle Y}$ jest obiektem stabilnym oraz ${\displaystyle r\colon Y\to Z}$ jest retrakcją, to ${\displaystyle Z}$ jest obiektem stabilnym.

Morfizm, który jest uniwersalny w kategorii dualnej do danej, nazywa się morfizmem kouniwersalnym.

Uniwersalność iloczynu prostego i kompozycji morfizmów

Następujące twierdzenie było opublikowane w Fundamenta Mathematicae w przypadku topologicznym^[2] (choć znane jego autorowi w ogólnym), a następnie przedstawione na posiedzeniu Wiedeńskiego Towarzystwa Matematycznego w styczniu, 1969 roku, w postaci ogólnej (kategoryjnej), jak niżej^[3]:

Twierdzenie: Niech ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ będzie kategorią. Niech ${\displaystyle f_{k}\colon X_{k-1}\to X_{k}}$ będą morfizmami w ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ dla ${\displaystyle k=1,\dots ,n}$ (gdzie ${\displaystyle n}$ jest liczbą naturalną), takimi że:

• istnieją iloczyny proste ${\displaystyle X:=\prod _{k=0}^{n-1}X_{k}}$ oraz ${\displaystyle Y:=\prod _{k=1}^{n}X_{k};}$
• iloczyn prosty morfizmów: ${\displaystyle u:=\prod _{k=1}^{n}f_{k}\colon X\to Y}$ jest morfizmem uniwersalnym.

Wtedy kompozycja ${\displaystyle f:=f_{n}\circ \dots \circ f_{1}\colon X_{0}\to X_{n}}$ jest morfizmem uniwersalnym.

Dowód: Niech ${\displaystyle \pi _{i}\colon X\to X_{i}}$ oraz ${\displaystyle \mu _{j}\colon Y\to X_{j}}$ będą kanonicznymi rzutami dla ${\displaystyle i=0,\dots ,n-1}$ oraz ${\displaystyle j=1,\dots ,n.}$ Morfizm u spełnia równości:

${\displaystyle \mu _{k}\circ u=f_{k}\circ \pi _{k-1}\quad {}}$ dla ${\displaystyle k=1,\dots ,n.}$

Niech ${\displaystyle g\colon X_{0}\to X_{n}}$ będzie dowolnym morfizmem. Istnieje wtedy dokładnie jeden morfizm w: ${\displaystyle X\to Y}$ taki, że:

${\displaystyle \mu _{k}\circ w=\pi _{k}\quad {}}$ dla ${\displaystyle k=1,\dots ,n-1;}$

${\displaystyle \mu _{n}\circ w=g\circ \pi _{0}.}$

Istnieje więc pewien obiekt ${\displaystyle S}$ oraz morfizm ${\displaystyle s\colon S\to X}$ taki, że:

${\displaystyle w\circ s=u\circ s.}$

Zatem:

${\displaystyle \pi _{k}\circ s=\mu _{k}\circ w\circ s=\mu _{k}\circ u\circ s=f_{k}\circ \pi _{k-1}\circ s,}$

czyli

${\displaystyle \pi _{k}\circ s=f_{k}\circ \pi _{k-1}\circ s}$

dla ${\displaystyle k=1,\dots ,n-1}$ oraz

${\displaystyle g\circ \pi _{0}\circ s=\mu _{n}\circ w\circ s=\mu _{n}\circ u\circ s=f_{n}\circ \pi _{n-1}\circ s,}$

czyli:

${\displaystyle g\circ \pi _{0}\circ s=f_{n}\circ \pi _{n-1}\circ s.}$

Powyższe n równości po słowie „czyli” (dwukrotnym) dają indukcyjnie równości:

${\displaystyle \pi _{k}\circ s=f_{k}\circ f_{k-1}\circ \dots \circ f_{1}\circ \pi _{0}\circ s}$

dla ${\displaystyle k=1,\dots ,n-1,}$ oraz ostatecznie:

${\displaystyle {\begin{aligned}g\circ \pi _{0}\circ s&=f_{n}\circ \pi _{n-1}\circ s\\&=f_{n}\circ f_{n-1}\circ \dots \circ f_{1}\circ \pi _{0}\circ s\\&=f\circ \pi _{0}\circ s\end{aligned}}}$

Tak więc dla morfizmu ${\displaystyle t:=\pi _{0}\circ s}$ otrzymaliśmy:

${\displaystyle g\circ t=f\circ t.}$

Koniec dowodu.

Powyższe twierdzenie było stosowane w topologii w przeciwną stronę: gdy kompozycja ciągu odwzorowań nie jest uniwersalna, to iloczyn prosty (kartezjański) tych odwzorowań nie jest uniwersalny. W ten sposób przykłady odwzorowań uniwersalnych o nieuniwersalnej kompozycji dały także przykłady na niezachowanie uniwersalności przez iloczyn prosty (kartezjański). Istnieją takie przykłady już dla odwzorowań wielościanów 2-wymiarowych.

Uniwersalne elementy monoidu

Monoid ${\displaystyle (M,*,e)}$ można interpretować jako kategorię, której jedynym obiektem jest ${\displaystyle M,}$ morfizmami są elementy zbioru ${\displaystyle M,}$ a kompozycja morfizmów to po prostu mnożenie ${\displaystyle *.}$ Wtedy jedność e jest morfizmem identycznościowym: ${\displaystyle e=i_{M}.}$ Tak więc elementem uniwersalnym monoidu nazywamy element u, który w tej kategorii-monoidzie jest morfizmem uniwersalnym, czyli spełnia warunek:

• dla dowolnego ${\displaystyle x\in M}$ istnieje ${\displaystyle p\in M}$ takie, że:

${\displaystyle x*p=u*p.}$

Warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia elementu uniwersalnego w monoidzie ${\displaystyle M}$ jest jego stabilność, czyli uniwersalność jedności ${\displaystyle e.}$

Ralph McKenzie udowodnił, że iloczyn dwóch uniwersalnych elementów monoidu nie musi być uniwersalny^[4].

Morfizmy uniwersalne w innych kategoriach

Uwagę morfizmom uniwersalnym poświęcono dotąd niemal wyłącznie w topologii (wciąż niewiele, ok. 20–30 publikacji, kilkunastu autorów – bodajże nie więcej, do roku 2007), gdzie występują pod nazwą funkcja uniwersalna lub odwzorowanie uniwersalne^[5];.

Funkcja ciągła ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ (gdzie ${\displaystyle X,}$ więc ${\displaystyle Y}$ też, jest przestrzenią niepustą) nazywa się uniwersalną, gdy jest morfizmem uniwersalnym w kategorii wszystkich niepustych przestrzeni topologicznych i odwzorowań ciągłych.

Z pierwszego fragmentu powyżej widać, że teoria funkcji uniwersalnych zawiera koncepcyjnie teorię własności punktu stałego (a więc ma potencjał do zastosowań w analizie, zwłaszcza w równaniach). Na dodatek, zawiera ona także topologiczną teorię wymiaru (lwią część), łącząc obie te teorie poprzez przenikanie się metod oraz wyniki, w których występują pojęcia obu tych klasycznych teorii jednocześnie (w tym samym twierdzeniu, nawet gdy samo pojęcie funkcji uniwersalnej w sformułowaniu wyniku nie występuje). Mają też funkcje uniwersalne potencjał w homotopijnej teorii rozmaitości.

Ponieważ algebry Banacha są dualnym uogólnieniem zwartych przestrzeni topologicznych, to w kategorii (niezerowych) algebr Banacha naturalnym jest skupić się na homomorfizmach kouniwersalnych (raczej niż uniwersalnych). Analogiem przestrzeni zwartej ${\displaystyle X}$ w kategorii algebr Banacha jest algebra funkcji ciągłych, zespolonych, ${\displaystyle C(X).}$

Przypisy