Miara trywialna

Miara trywialna – miara przyporządkowująca każdemu zbiorowi mierzalnemu miarę zerową (zob. zbiór miary zero); równoważnie: miara jest trywialna wtedy i tylko wtedy, gdy miara całej przestrzeni jest równa zeru. Innymi słowy jest ona niezmiennicza (a więc quasi-niezmiennicza) dla dowolnej funkcji danej przestrzeni mierzalnej w siebie.

Własności

Niech ${\displaystyle \mu }$ oznacza miarę trywialną określoną na pewnej przestrzeni mierzalnej ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}}),}$ która jest zarazem przestrzenią topologiczną taką, że ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ jest σ-algebrą borelowską na ${\displaystyle X.}$

• Miara ${\displaystyle \mu }$ trywialnie spełnia warunek regularności miary.
• Miara ${\displaystyle \mu }$ nigdy nie jest ściśle dodatnia, bez względu na ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}}),}$ gdyż każdy zbiór mierzalny jest miary zero.
• Ponieważ ${\displaystyle \mu (X)=0,}$ to ${\displaystyle \mu }$ zawsze jest miarą skończoną, a stąd także lokalnie skończoną.
• Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią Hausdorffa z jej σ-algebrą borelowską, to ${\displaystyle \mu }$ trywialnie spełnia warunek wewnętrznej regularności (ciasności/jędrności) miary. Wraz z powyższą własnością oznacza to, że ${\displaystyle \mu }$ jest wówczas miarą Radona. Istotnie, jest to wierzchołek stożka wszystkich nieujemnych miar Radona na ${\displaystyle X.}$
• Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest nieskończeniewymiarową przestrzenią Banacha z jej σ-algebrą borelowską, to ${\displaystyle \mu }$ jest jedyną miarą na ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}}),}$ która jest zarazem lokalnie skończona i niezmiennicza ze względu na wszystkie przesunięcia ${\displaystyle X}$ (zob. uwaga).
• Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest ${\displaystyle n}$-wymiarową przestrzenią euklidesową ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ wraz z jej zwykłą σ-algebrą oraz ${\displaystyle n}$-wymiarową miarą Lebesgue’a ${\displaystyle \lambda _{n},}$ to ${\displaystyle \mu }$ jest miarą osobliwą względem ${\displaystyle \lambda _{n}.}$ Wystarczy rozłożyć ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ na ${\displaystyle A=\mathbb {R} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}}$ oraz ${\displaystyle B=\{\mathbf {0} \}}$ i zauważyć, że ${\displaystyle \mu (A)=\lambda _{n}(B)=0.}$