Miara σ-skończona

Miara skończona – miara przypisująca skończoną wartość przestrzeni mierzalnej, na której jest określona.

Miara σ-skończona (półskończona) – miara, dla której przestrzeń może być przedstawiona w postaci sumy przeliczalnie wielu zbiorów miary skończonej. Każda miara skończona jest σ-skończona. Pojęcie σ-skończoności uogólnia się mutatis mutandis na dowolne funkcje zbiorów.

Miary, które nie są σ-skończone uznawane są w praktyce matematycznej za miary w pewnym sensie patologiczne. Większość zasadniczych twierdzeń teorii miary (przykładowo twierdzenie Fubiniego czy twierdzenie Radona-Nikodyma) wymaga założenia σ-skończoności miary.

Przykłady

  • Miara Lebesgue’a w przestrzeni R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} nie jest skończona, ale jest σ-skończona, gdyż
R n = ⋃ k = 1 ∞   [ − k , k ] × … × [ − k , k ] ⏟ n r a z y . {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\bigcup _{k=1}^{\infty }~\underbrace {[-k,k]\times \ldots \times [-k,k]} _{n\;\mathrm {razy} }.}
  • Miara licząca jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy jest określona na zbiorze skończonym oraz σ-skończona wtedy i tylko wtedy, gdy jest określona na zbiorze przeliczalnym.

Bibliografia

  • Paul Halmos: Measure Theory. D. Van Nostrand Company, Inc., 1950, s. 56.
  • Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973, s. 140.