Macierz normalna

Macierz normalna – kwadratowa macierz zespolona U {\displaystyle U} , która komutuje ze swoim sprzężeniem hermitowskim, tj.

U † U = U U † , {\displaystyle U^{\dagger }U=UU^{\dagger },}

gdzie ⋅ † {\displaystyle \cdot ^{\dagger }} oznacza sprzężenie hermitowskie.

Normalność macierzy U {\displaystyle U} jest równoważna istnieniu takiej bazy ortonormalnej, że P U P − 1 {\displaystyle PUP^{-1}} jest macierzą diagonalną, przy czym P {\displaystyle P} jest macierzą przejścia do tej bazy ortonormalnej.

W szczególności, wszystkie macierze unitarne, hermitowskie i antyhermitowskie są macierzami normalnymi.

Uogólnieniem pojęcia macierzy normalnej jest operator normalny.

Ogólne przypadki

Nie wszystkie macierze normalne są unitarne lub hermitowskie, ponieważ ich wartościami własnymi mogą być dowolne liczby zespolone. Na przykład, U = [ 1 1 0 0 1 1 1 0 1 ] {\displaystyle U={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{bmatrix}}}

nie jest ani hermitowska, ani antyhermitowska, ponieważ jej wartości własne są 2 , ( 1 ± i 3 ) / 2 {\displaystyle 2,(1\pm i{\sqrt {3}})/2} ; jednak jest to macierz normalna, gdyż U U † = [ 2 1 1 1 2 1 1 1 2 ] = U † U . {\displaystyle UU^{\dagger }={\begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix}}=U^{\dagger }U.}

Linki zewnętrzne

  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Normal Matrix, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).