Grupa rozwiązalna

Grupa rozwiązalna – grupa, dla której istnieje ciąg subnormalny o abelowych faktorach (przemiennych ilorazach).

Nazwa pojęcia ma swoje źródło w teorii Galois, skąd pochodzi – pierwiastki wielomianu o współczynnikach z pewnego ciała można wyrazić za pomocą pierwiastników (elementów ciała połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i pierwiastkowania dowolnego stopnia naturalnego), gdy tzw. grupa Galois ciała rozkładu danego wielomianu jest rozwiązalna. Twierdzenie Abela-Ruffiniego mówi, że grupy Galois ciała rozkładu wielomianów stopnia większego od 4 nie muszą być rozwiązalne, tzn. wśród wielomianów rzeczywistych dowolnego stopnia większego niż 4 istnieją wielomiany, których pierwiastki nie dają się przedstawić za pomocą pierwiastników. Przykładem może być następujący wielomian piątego stopnia: ${\displaystyle x^{5}-x-1.}$

Definicja

Grupa ${\displaystyle G}$ jest rozwiązalna, gdy istnieje ciąg podgrup

${\displaystyle \{1\}=H_{0}\subseteq H_{1}\subseteq \dots \subseteq H_{k-1}\subseteq H_{k}=G,}$

takich, że dla każdego ${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant k}$ są spełnione warunki:

• ${\displaystyle H_{i-1}}$ jest podgrupą normalną ${\displaystyle H_{i}}$
• grupa ilorazowa ${\displaystyle H_{i}/H_{i-1}}$ jest abelowa.

Warunki równoważne

Czasami jako definicję podaje się również następujący, równoważny warunek:

Grupa ${\displaystyle G}$ jest rozwiązalna wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle G^{(n)}=\{1\}}$ dla pewnej liczby ${\displaystyle n,}$

gdzie ${\displaystyle G^{(n)}}$ oznacza ${\displaystyle n}$-tą pochodną grupy ${\displaystyle G.}$ Najmniejszą taką liczbę ${\displaystyle n}$ nazywa się stopniem rozwiązalności grupy ${\displaystyle G.}$

Jeżeli grupa ${\displaystyle G}$ jest skończona, to jest ona rozwiązalna wtedy i tylko wtedy, gdy faktory ciągu kompozycyjnego grupy ${\displaystyle G}$ są grupami cyklicznymi rzędu będącego liczbą pierwszą. Równoważność ta wynika z twierdzenia Jordana-Höldera.

Własności

• Podgrupa grupy rozwiązalnej jest rozwiązalna.
• Jeśli ${\displaystyle H\vartriangleleft G}$ i grupa ${\displaystyle G}$ jest rozwiązalna, to iloraz ${\displaystyle G/H}$ również jest grupą rozwiązalną.
• Jeżeli ${\displaystyle H\vartriangleleft G}$ oraz grupy ${\displaystyle H}$ i ${\displaystyle G/H}$ są rozwiązalne, to ${\displaystyle G}$ również jest grupą rozwiązalną.
• Obraz homomorficzny grupy rozwiązalnej jest grupą rozwiązalną.
• Iloczyn prosty grup rozwiązalnych jest grupą rozwiązalną.

Przykłady

• Każda grupa abelowa jest rozwiązalna.
• Grupy nilpotentne i superrozwiązalne są rozwiązalne.
• p-grupy są rozwiązalne.
• Grupa permutacji S_n jest rozwiązalna dla ${\displaystyle n=1,2,3,4}$ i nie jest rozwiązalna dla ${\displaystyle n>4.}$
• Grupa alternująca ${\displaystyle A_{4}}$ jest nieabelową grupą rozwiązalną. ${\displaystyle \{\operatorname {id} \}\vartriangleleft V_{4}\vartriangleleft A_{4},}$ gdzie ${\displaystyle V_{4}}$ oznacza czwórkową grupę Kleina. Grupa Kleina jest abelowa oraz ${\displaystyle V_{4}\simeq V_{4}/\{\operatorname {id} \},}$ ponadto ${\displaystyle A_{4}/V_{4}\simeq \mathbb {Z} _{3},}$ skąd ${\displaystyle A_{4}}$ jest rozwiązalna.
• Nierozwiązalną grupą najmniejszego rzędu jest 60-elementowa grupa alternująca ${\displaystyle A_{5}.}$
• Każda nieabelowa grupa prosta ${\displaystyle G}$ nie jest rozwiązalna, ponieważ ${\displaystyle G/\{1\}\simeq G,}$ a w grupie prostej nie ma innych ciągów subnormalnych.

Twierdzenia

Twierdzenie Feita-Thompsona

Każda skończona grupa rzędu nieparzystego jest rozwiązalna.

Twierdzenie Burnside’a

Każda grupa rzędu ${\displaystyle p^{a}q^{b}}$ jest rozwiązalna, gdzie ${\displaystyle p,q}$ są liczbami pierwszymi, a ${\displaystyle a,b}$ – nieujemnymi liczbami całkowitymi.

Bibliografia

• Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987.brak strony w książce

Linki zewnętrzne

• Solvable group (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].