Dystrybuanta

Dystrybuanta (fr. distribuer „rozdzielać, rozdawać” z łac. distribuo zob. dystrybucja) – funkcja rzeczywista jednoznacznie wyznaczająca rozkład prawdopodobieństwa (tj. miarę probabilistyczną określoną na σ-ciele borelowskich podzbiorów prostej^[1]), a więc zawierająca wszystkie informacje o tym rozkładzie. Dystrybuanty są efektywnym narzędziem badania prawdopodobieństwa, ponieważ są obiektami prostszymi niż rozkłady prawdopodobieństwa. W statystyce dystrybuanta rozkładu próby zwana jest dystrybuantą empiryczną i jest blisko związana z pojęciem rangi.

Definicja formalna

Niech ${\displaystyle \mathbb {P} }$ będzie rozkładem prawdopodobieństwa na prostej. Funkcję ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ daną wzorem

${\displaystyle F(t)=\mathbb {P} ((-\infty ,t]),}$

nazywamy dystrybuantą rozkładu ${\displaystyle \mathbb {P} .}$

Własności

Funkcja ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ jest dystrybuantą (pewnego rozkładu prawdopodobieństwa) wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona niemalejąca, prawostronnie ciągła oraz

• ${\displaystyle \lim _{t\to -\infty }~F(t)=0,}$
• ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }~F(t)=1.}$

Uwaga 1

Powyższa charakteryzacja dostarcza warunek konieczny i wystarczający na to, by funkcja dana funkcja ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ była dystrybuantą pewnego rozkładu, dlatego czasami to właśnie je przyjmuje się jako definicję. Podejście takie może być korzystniejsze z tego względu, że nie trzeba odwoływać się do pojęcia rozkładu pochodzącego z teorii miary. Wówczas taka definicja zawiera ciche założenie, że istnieje rozkład, którego ta funkcja jest dystrybuantą.

Uwaga 2

Dystrybuanta ${\displaystyle F}$ wyznacza pewien rozkład ${\displaystyle \mathbb {P} }$ jednoznacznie i na odwrót, więc gdy zachodzi potrzeba całkowania pewnej funkcji borelowskiej ${\displaystyle g}$ względem rozkładu ${\displaystyle \mathbb {P} ,}$ to można mówić, że całkujemy ją względem dystrybuanty ${\displaystyle F,}$ co zapisuje się:

${\displaystyle \int {g}\,\mathrm {d} \mathbb {P} =\int {g}\,\mathrm {d} F.}$

Uwaga 3

Niekiedy^[2] w definicji dystrybuanty stosuje się przedział otwarty:

${\displaystyle F(t)=\mathbb {P} ((-\infty ,t)).}$

Dystrybuanta jest wówczas funkcją lewostronnie ciągłą (w przeciwieństwie do przypadku gdy w definicji stosuje się przedział prawostronnie domknięty i dystrybuanta jest funkcją prawostronnie ciągłą).

Punkty skokowe

Punkt skokowy dystrybuanty to punkt ${\displaystyle y,}$ dla którego dystrybuanta ${\displaystyle F(x)}$ spełnia warunek:

${\displaystyle F(y)-\lim _{x\to y^{-}}{F(x)}>0,}$

tzn. jest to jej punkt nieciągłości.

W przypadku dyskretnego rozkładu prawdopodobieństwa punkty skokowe występują dla każdej wartości zmiennej losowej, dla której ma ona dodatnie prawdopodobieństwo i tylko tam. W przypadku bezwzględnie ciągłego rozkładu prawdopodobieństwa nie ma punktów skokowych dystrybuanty. Zbiór punktów skokowych dystrybuanty jest co najwyżej zbiorem przeliczalnym.

Przykłady

• Dystrybuanta rozkładu jednostajnego na przedziale ${\displaystyle [a,b]{:}}$

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\textrm {dla}}\ \ x\leqslant a\\[2pt]{\frac {x-a}{b-a}}&{\textrm {dla}}\ \ a<x\leqslant b\\[2pt]1&{\textrm {dla}}\ \ x>b\end{cases}}}$

• Dystrybuanta rozkładu normalnego o parametrach ${\displaystyle \mu }$ i ${\displaystyle \sigma ^{2}{:}}$

${\displaystyle F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{\frac {-(t-\mu )^{2}}{(2\sigma ^{2})}}\,\mathrm {d} t}$

• Dystrybuanta rozkładu wykładniczego o parametrze ${\displaystyle \lambda {:}}$

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-e^{-\lambda x},&x\geqslant 0,\\[2pt]0,&x<0.\end{cases}}}$

Gęstość

 Osobny artykuł: funkcja gęstości prawdopodobieństwa.

Mierzalną w sensie Lebesgue’a funkcję ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to [0,\infty )}$ nazywamy gęstością dystrybuanty ${\displaystyle F}$ wtedy i tylko wtedy, gdy:

${\displaystyle F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}{f}(t)\,\mathrm {d} t\quad (x\in \mathbb {R} ).}$

Własności

• Jeżeli ${\displaystyle f}$ jest gęstością pewnej dystrybuanty, to całka z ${\displaystyle f}$ po całej prostej wynosi ${\displaystyle 1.}$
• Jeżeli ${\displaystyle f_{1}}$ i ${\displaystyle f_{2}}$ są gęstościami pewnej dystrybuanty, to są one równe prawie wszędzie.
• Jeżeli dystrybuanta ma gęstość, to jest funkcją ciągłą.
• Każda dystrybuanta, jako funkcja monotoniczna jest prawie wszędzie różniczkowalna.
• Jeśli dystrybuanta ${\displaystyle F}$ ma gęstość, to dla ${\displaystyle x\in \mathbb {R} {:}}$

${\displaystyle F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}F'(t)\,\mathrm {d} t.}$

Gęstość dystrybuanty ma praktyczne zastosowanie: jeśli ${\displaystyle F}$ jest dystrybuantą rozkładu ${\displaystyle \mathbb {P} ,}$ to często zachodzi konieczność całkowania względem miary ${\displaystyle \mathbb {P} .}$ Całkowanie względem abstrakcyjnych miar jest dość trudne (brak konkretnych narzędzi do obliczania całek), jednak jeśli ${\displaystyle f}$ jest gęstością dystrybuanty ${\displaystyle F,}$ to

${\displaystyle \int \limits _{B}g(x)\,\mathrm {d} \mathbb {P} (x)=\int \limits _{B}g(x)f(x)\,\mathrm {d} x,}$

dla każdego zbioru borelowskiego ${\displaystyle B\subseteq \mathbb {R} }$ i dla każdej funkcji borelowskiej ${\displaystyle g}$ przyjmującej wartości w ${\displaystyle \mathbb {R} ,{\overline {\mathbb {R} }},\mathbb {C} ,\mathbb {R} ^{M}}$ dla pewnej liczby naturalnej ${\displaystyle M.}$

Ciągłość dystrybuanty a istnienie gęstości

Istnieją ciągłe dystrybuanty niemające gęstości. Klasycznym przykładem jest:

${\displaystyle F(x)=\left\{{\begin{array}{l}0,&x<0\\C(x),&x\in [0,1],\\1,&x>1,\end{array}}\right.}$

gdzie ${\displaystyle C(x)}$ oznacza funkcję Cantora. ${\displaystyle C(x)}$ jest prawie wszędzie stała, monotoniczna, ciągła i przyjmuje wszystkie wartości z przedziału ${\displaystyle [0,1].}$ Dystrybuanta ${\displaystyle F}$ nie może mieć zatem gęstości ponieważ ${\displaystyle F'=0}$ prawie wszędzie.

Funkcja charakterystyczna

 Osobny artykuł: Funkcja charakterystyczna (teoria prawdopodobieństwa).

Jeżeli ${\displaystyle F}$ jest dystrybuantą, to funkcję ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ określoną wzorem

${\displaystyle \varphi (t)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }~e^{itx}dF(x)}$

nazywamy funkcją charakterystyczną dystrybuanty ${\displaystyle F.}$

Jeżeli ${\displaystyle \varphi }$ jest funkcją charakterystyczną pewnej dystrybuanty, to jest ona funkcją jednostajnie ciągłą oraz

1. ${\displaystyle \varphi (0)=1,}$
2. ${\displaystyle \varphi (-t)={\overline {\varphi (t)}}}$ dla ${\displaystyle t\in \mathbb {R} ,}$
3. ${\displaystyle |\varphi (t)|\leqslant 1}$ dla ${\displaystyle t\in \mathbb {R} .}$

Jednym z praktycznych zastosowań funkcji charakterystycznej jest tzw. wzór na odwrócenie, dokładniej, jeśli ${\displaystyle \varphi }$ jest funkcją charakterystyczną dystrybuanty ${\displaystyle F,}$ a ${\displaystyle x,y}$ są punktami ciągłości tej dystrybuanty, to

${\displaystyle F(x)-F(y)=\lim _{a\to \infty }{\tfrac {1}{2\pi }}\int \limits _{-a}^{a}{\frac {e^{-ity}-e^{-itx}}{it}}\varphi (t)dt.}$

Dowód tego faktu przeprowadza się w oparciu o twierdzenie Fubiniego.

Funkcje charakterystyczne wyznaczają jednoznacznie dystrybuanty, tzn. jeśli dystrybuanty mają te same funkcje charakterystyczne, to są równe. Funkcje charakterystyczne mówią także o własnościach dystrybuanty, związanych z gładkością – dokładniej, jeśli funkcja charakterystyczna jest całkowalna, to dystrybuanta jest klasy ${\displaystyle C^{1}.}$

Zbieżność a ciągłość

Słaba zbieżność

Dla ciągów dystrybuant wprowadza się dodatkowy rodzaj zbieżności. Ciąg dystrybuant ${\displaystyle (F_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest słabo zbieżny do dystrybuanty ${\displaystyle F}$ wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }~F_{n}(x)=F(x)}$

dla każdego ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$ będącego punktem ciągłości dystrybuanty ${\displaystyle F.}$

• W powyższej definicji istotne jest założenie „do dystrybuanty”. Jest tak, ponieważ ciąg dystrybuant może być zbieżny do funkcji, która nie jest dystrybuantą.

Przykład

Niech dany będzie ciąg dystrybuant:

${\displaystyle F_{k}(x)={\begin{cases}0,&x\leqslant -k\\[2pt]{\frac {x+k}{2k}},&-k<x\leqslant k\\[2pt]1,&x>k\end{cases}}}$

Wówczas dla każdego ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle F_{k}(x){\xrightarrow[{k\to \infty }]{}}F(x)={\frac {1}{2}},}$ ale funkcja ${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}}$ nie jest dystrybuantą.

• Jeżeli ciąg dystrybuant jest słabo zbieżny do dystrybuanty, to do dokładnie jednej dystrybuanty. Ważnym twierdzeniem dotyczącym słabej zbieżności jest poniższe twierdzenie Helly’ego.

Twierdzenie Helly’ego

Jeżeli ciąg dystrybuant ${\displaystyle (F_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest słabo zbieżny do dystrybuanty ${\displaystyle F,}$ a ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ jest ograniczoną funkcją ciągłą, to

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }~\int \limits _{\mathbb {R} }~g(x)dF_{n}(x)=\int \limits _{\mathbb {R} }~g(x)dF(x).}$

Wnioskiem z twierdzenia Helly’ego jest fakt, że jeśli ${\displaystyle (F_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest ciągiem dystrybuant, a ${\displaystyle (\varphi _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ciągiem odpowiadająych im funkcji charakterystycznych oraz ${\displaystyle (F_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest punktowo zbieżny do dystrybuanty ${\displaystyle F,}$ to ciąg ${\displaystyle (\varphi _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest punktowo zbieżny do funkcji charakterystycznej funkcji ${\displaystyle F.}$

Twierdzenie Lévy’ego-Craméra

 Osobny artykuł: Twierdzenie Lévy’ego-Craméra.

Niech ${\displaystyle (F_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ będzie ciągiem dystrybuant, a ${\displaystyle (\varphi _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ będzie ciągiem odpowiadających im funkcji charakterystycznych. Ciąg ${\displaystyle (\varphi _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest punktowo zbieżny do ciągłej w zerze funkcji ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg ${\displaystyle (F_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest słabo zbieżny do pewnej dystrybuanty ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle \varphi }$ jest wówczas funkcją charakterystyczną dystrybuanty ${\displaystyle F.}$

Na mocy powyższego twierdzenia można sformułować wniosek, że ciąg dystrybuant ${\displaystyle (F_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest słabo zbieżny do dystrybuanty ${\displaystyle F}$ wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }~\int \limits _{\mathbb {R} }~g(x)dF_{n}(x)=\int \limits _{\mathbb {R} }~g(x)dF(x)}$

dla każdej ograniczonej funkcji ciągłej ${\displaystyle g.}$

Zbieżność jednostajna

Każdy ciąg dystrybuant zbieżny punktowo do dystrybuanty ciągłej jest zbieżny do niej jednostajnie. Fakt ten można udowodnić, korzystając z jednostajnej ciągłości dystrybuanty ciągłej.

Dystrybuanta zmiennej i wektora losowego

Niech ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}$ będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną.

Jeśli ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ jest zmienną losową, to funkcja ${\displaystyle F_{X}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ dana wzorem:

${\displaystyle F_{X}(x)=\mathbb {P} (\{\omega \in \Omega \colon \,X(\omega )\leqslant x\})}$^[3], ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

jest dystrybuantą, którą nazywamy dystrybuantą zmiennej ${\displaystyle X.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{X}(\mathbf {x} )&=\mathbb {P} \left(X^{-1}((-\infty ,x_{1}]\times \ldots \times (-\infty ,x_{n}])\right)\\&=\mathbb {P} \left(\bigcap \limits _{k=1}^{n}\{\omega \in \Omega \colon X_{k}(\omega )\leqslant x_{k}\}\right),\quad \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\end{aligned}}}$

jest dystrybuantą, którą nazywamy dystrybuantą wektora ${\displaystyle X.}$

Każda zmienna losowa (wektor losowy) wyznacza pewną dystrybuantę oraz każda dystrybuanta jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej (wektora losowego).

Przypisy

Bibliografia

• Patrick Billingsley: Prawdopodobieństwo i miara. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987.brak strony w książce
• Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004.brak strony w książce
• Andrzej Pacut: Prawdopodobieństwo. Teoria, modelowanie probabilistyczne w technice. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1985, s. 484, 485. ISBN 83-204-0524-6.
• Jarosław Bartoszewicz: Wykłady ze statystyki matematycznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1989, s. 12. ISBN 83-01-09054-5.