Bordyzm

Bordyzm – relacja równoważności w zbiorze zwartych rozmaitości różniczkowych. Na zbiorze klas abstrakcji tej relacji można zdefiniować działania w taki sposób, aby miał on strukturę pierścienia. Badanie relacji bordyzmu jest jednym z głównych nurtów w topologii algebraicznej.

Dwie n-wymiarowe rozmaitości zwarte ${\displaystyle M,N}$ nazywamy bordycznymi, jeśli istnieje (n + 1)-wymiarowa rozmaitość różniczkowa z brzegiem ${\displaystyle W,}$ której brzeg jest dyfeomorficzny z sumą rozłączną ${\displaystyle M\sqcup N.}$ Fakt ten oznaczamy to przez ${\displaystyle (W;M,N).}$ Bordyzm jest relacją równoważności między rozmaitościami ${\displaystyle M}$ i ${\displaystyle N}$^[1]. Zbiór klas abstrakcji tej relacji oznaczamy ${\displaystyle \Omega _{n}.}$ Zbiór ${\displaystyle \Omega _{n}}$ jest grupą abelową względem dodawania zdefiniowanego następująco:

${\displaystyle [M]+[N]:=[M\sqcup N],}$

gdzie ${\displaystyle [M\sqcup N]}$ jest sumą rozłączną rozmaitości ${\displaystyle M}$ i ${\displaystyle N}$^[2].

W sumie prostej

${\displaystyle \Omega _{\star }=\bigoplus _{n=1}^{\infty }\Omega _{n}}$

możemy zdefiniować strukturę pierścienia. Dla dowolnych klas ${\displaystyle [M]\in \Omega _{k},[N]\in \Omega _{n}}$ definiujemy mnożenie jako iloczyn kartezjański przestrzeni topologicznych:

${\displaystyle [M]\cdot [N]:=[M\times N],}$

które można rozszerzyć na cały zbiór ${\displaystyle \Omega _{\star }.}$ Mnożenie to jest łączne i rozdzielne względem dodawania. Jednością jest klasa bordyzmów jednego punktu. Grupy ${\displaystyle \Omega _{n}}$ określają gradację pierścienia ${\displaystyle \Omega _{\star }}$^[3].

Przypisy