Σ-pierścień

σ-pierścień – niepusta rodzina zbiorów ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ zamknięta ze względu na przeliczalne sumy i dopełnienia, tzn.

• ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}},{\mbox{ gdy }}A_{n}\in {\mathcal {R}}{\mbox{ dla wszystkich }}n\in \mathbb {N} ;}$
• ${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}},{\mbox{ gdy }}A,B\in {\mathcal {R}}.}$

Własności

Z powyższych dwóch własności wynika wprost, iż

${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}},{\mbox{ gdy }}A_{n}\in {\mathcal {R}}{\mbox{ dla wszystkich }}n\in \mathbb {N} }$

ponieważ

${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}=A_{1}\setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }(A_{1}\setminus A_{n}).}$

Jeżeli pierwszą własność osłabi się do zamknięcia ze względu na skończone sumy, tzn.

${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {R}},{\mbox{ o ile tylko }}A,B\in {\mathcal {R}},}$

ale nie na przeliczalne, to ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ jest pierścieniem, lecz nie σ-pierścieniem zbiorów.

Jeśli nie wymaga się, aby zbiór uniwersalny był mierzalny, to do zbudowania teorii miary i całki zamiast σ-ciał można wykorzystać σ-pierścienie. Każde σ-ciało jest σ-pierścieniem, lecz σ-pierścień nie musi być σ-ciałem.

Każdy σ-pierścień indukuje σ-algebrę: jeżeli ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ jest σ-pierścieniem nad zbiorem ${\displaystyle X,}$ to rodzina wszystkich podzbiorów ${\displaystyle X,}$ które są elementami ${\displaystyle {\mathcal {R}},}$ bądź których dopełniania są elementami ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ jest σ-algebrą nad zbiorem ${\displaystyle X.}$

Zobacz też

• δ-pierścień

Bibliografia

• Walter Rudin, 1976. Principles of Mathematical Analysis, 3rd. ed. McGraw-Hill. W ostatnim rozdziale autor korzysta z σ-pierścieni do budowy teorii Lebesgue'a.