Nergens dichte verzameling

In de topologie, een deelgebied van de wiskunde, wordt een deelverzameling ${\displaystyle A}$ van een topologische ruimte ${\displaystyle X}$ nergens dicht (in ${\displaystyle X}$) genoemd, als er geen omgeving in ${\displaystyle X}$ bestaat, waar ${\displaystyle A}$ dicht is. De gehele getallen vormen bijvoorbeeld een nergens dichte deelverzameling van de reële lijn ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Een deelverzameling ${\displaystyle A}$ van een topologische ruimte ${\displaystyle X}$ is dan en slechts dan nergens dicht in ${\displaystyle X}$ als het inwendige van de afsluiting van ${\displaystyle A}$ leeg is.^[1] De volgorde van de operaties is belangrijk. De verzameling van rationale getallen heeft, als een deelverzameling van ${\displaystyle \mathbb {R} }$, bijvoorbeeld de eigenschap dat de afsluiting van het inwendige leeg is, maar deze verzameling is geen nergens dichte verzameling; het is zelfs een dichte verzameling in ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Bronnen

1. ↑ Walter Rudin, "Functional Analysis," McGraw-Hill 1973.

Zie ook

• Baire-ruimte
• Smith-Volterra-Cantor-verzameling

Externe link

• (en) Enige nergens dichte verzamelingen met positieve maat