Logische negatie

Logische negatie of ontkenning is een bewerking in de natuurlijke talen, logica en wiskunde die de waarheidswaarde van een propositie ${\displaystyle P}$ verandert van waar in onwaar en andersom van onwaar in waar.

Als bijvoorbeeld ${\displaystyle P}$ stelt: Vandaag is het zaterdag, dan is de negatie ${\displaystyle \neg P}$: Vandaag is het niet zaterdag.

Logica

De negatie is in de klassieke logica een eenplaatsige booleaanse operator die de waarheidswaarde van een propositie omkeert. De waarheidstabel van de negatie is als volgt:

De negatie van de propositie ${\displaystyle P}$ kan op allerlei manieren worden geschreven:

• ${\displaystyle {\overline {P}}\quad }$, de ${\displaystyle P}$ met een streepje erboven
• ${\displaystyle \neg P}$
• ${\displaystyle {\mathord {\sim }}P}$
• niet ${\displaystyle P}$
• ${\displaystyle !P}$
• ${\displaystyle P'}$

Deze zijn te lezen als: Het is niet het geval dat ${\displaystyle P}$.

• ${\displaystyle \neg P}$ is waar dan en slechts dan als ${\displaystyle P}$ onwaar is.

Een dubbele negatie is in de klassieke logica gelijk aan een bevestiging, dus kan de dubbele negatie in de propositie ${\displaystyle \neg \neg P}$ worden weggehaald en eenvoudiger worden geschreven als ${\displaystyle P}$. De proposities ${\displaystyle P}$ en ${\displaystyle \neg \neg P}$ zijn logisch equivalent. De implicatie ${\displaystyle \neg \neg P\Rightarrow P}$ volgt uit de eliminatie van de dubbele negatie.

De negatie kan in andere logische bewerkingen worden gedefinieerd. Zo kan ${\displaystyle \neg P}$ worden gedefinieerd als ${\displaystyle P\rightarrow F}$, waarin de ${\displaystyle \rightarrow }$ de logische implicatie is en ${\displaystyle F}$ onwaar. Andersom kan ${\displaystyle F}$ worden gedefinieerd als ${\displaystyle P\land \neg P}$ voor iedere propositie ${\displaystyle P}$, waarbij ${\displaystyle \land }$ de logische conjunctie is. Dit geldt zowel in de klassieke als in de intuïtionistische logic. In de klassieke logica geldt bovendien dat ${\displaystyle P\rightarrow Q}$ gedefinieerd kan worden als ${\displaystyle \neg P\lor Q}$, waarin ${\displaystyle \lor }$ de logische disjunctie is.

In de intuïtionistische logica is ${\displaystyle \neg \neg P}$ een zwakkere uitspraak dan ${\displaystyle P}$. Hoe dan ook zijn ${\displaystyle \neg \neg \neg P}$ en ${\displaystyle \neg P}$ logisch equivalent.

Distributiviteit

De wetten van De Morgan verdelen de negatie distributief over de logische conjunctie en disjunctie.

${\displaystyle \neg (P\land Q)\Leftrightarrow (\neg P\lor \neg Q)}$

${\displaystyle \neg (P\lor Q)\Leftrightarrow (\neg P\land \neg Q)}$

Overige

• De negatie komt in programmertalen in een voorwaardelijke opdracht voor.
• Schakelingen in de elektrotechniek zijn op de booleaanse algebra gebaseerd. De logische negatie wordt daarbij door een NOT-poort geïmplementeerd.