Lemma van Riemann-Lebesgue

In de wiskundige analyse, een deelgebied van de wiskunde, is het lemma van Riemann-Lebesgue, vernoemd naar Bernhard Riemann en Henri Lebesgue, van belang in de harmonische- en asymptotische analyse.

Het lemma zegt dat de fourier-transformatie of laplace-transformatie van een L¹-functie, dus een meetbare functie met eindige absolute integraal, in het oneindige verdwijnt.

Lemma

Laat ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$ zijn, dus ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ is een meetbare functie met

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|\mathrm {d} x<\infty }$

Dan geldt voor de fouriergetransformeerde ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ van ${\displaystyle f}$, die gedefinieerd is als:

${\displaystyle {\mathcal {F}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,\mathrm {d} x}$

dat

${\displaystyle \lim _{\omega \to \pm \infty }|{\mathcal {F}}(\omega )|\to 0}$

Bewijs

Het is voldoende het bewijs te leveren voor de indicatorfunctie ${\displaystyle f=1_{[a,b]}}$ van een willekeurig interval ${\displaystyle [a,b]}$.

Daarvoor geldt:

${\displaystyle {\mathcal {F}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{a}^{b}e^{-i\omega x}\,\mathrm {d} x={\frac {e^{-i\omega a}-e^{-i\omega b}}{i\omega {\sqrt {2\pi }}}}\xrightarrow {|\omega |\to \infty } 0}$

Vanwege de linariteit van de integraal geldt dit ook voor een willekeurige stapfunctie, en een willekeurige integreerbare functie is willekeurig dicht te benaden met een stapfunctie.

Externe link

• (en) Het lemma van Riemann–Lebesgue op MathWorld