Associator

In de abstracte algebra is de associator, voor een ring of algebra ${\displaystyle R}$, de multilineaire afbeelding ${\displaystyle R\times R\times R\to R}$ gegeven door

${\displaystyle [x,y,z]=(xy)z-x(yz)}$.

Net als de commutator de mate van niet-commutativiteit meet, meet de associator de mate van niet-associativiteit van de elementen in een niet-associatieve ring en een niet-associatieve algebra. De associator is gelijk aan nul voor elementen in een associatieve ring of algebra.

Voor de associator in een ring geldt de eigenschap:

${\displaystyle w[x,y,z]+[w,x,y]z=[wx,y,z]-[w,xy,z]+[w,x,yz]}$.

Bovendien is de associator alleen dan alternerend als de ring ${\displaystyle R}$ een alternatieve ring is. Een associator is alternerend als verwisseling van twee argumenten leidt tot tekenwisseling, dus als

${\displaystyle [x,y,z]=-[y,x,z]=-[z,y,x]=-[x,z,y].}$

In het bijzonder is dan

${\displaystyle [x,x,y]=[x,y,y]=[x,y,x]=0}$.

In hoger-dimensionale algebra, waar niet-identieke morfismen tussen algebraïsche uitdrukkingen kunnen bestaan, is een associator een isomorfisme

${\displaystyle a_{x,y,z}:(xy)z\mapsto x(yz)}$.