グラム・シュミットの正規直交化法

グラム・シュミットの正規直交化法（グラム・シュミットのせいきちょっこうかほう、英: Gram–Schmidt orthonormalization）とは、計量ベクトル空間に属する線型独立な有限個のベクトルが与えられたとき、それらと同じ部分空間を張る正規直交系を作り出すアルゴリズムの一種^[1]。シュミットの直交化（ちょっこうか、orthogonalization）ともいう。ヨルゲン・ペダーセン・グラムおよびエルハルト・シュミットに因んで名付けられた。変換行列は上三角行列に取ることができる。正規化する工程を省略すると、必ずしも正規でない直交系を得ることができる。

アルゴリズム

V を計量ベクトル空間とし、V のベクトル v, u の内積を (v, u) と表すことにする。与えられたベクトルの線型独立系を {v₁, v₂, …, v_n} とする。

直交化: ${\begin{aligned}{\boldsymbol {u}}_{1}&:={\boldsymbol {v}}_{1}\\{\boldsymbol {u}}_{2}&:={\boldsymbol {v}}_{2}-{\frac {({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {v}}_{2})}{({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {u}}_{1})}}{\boldsymbol {u}}_{1}\\{\boldsymbol {u}}_{3}&:={\boldsymbol {v}}_{3}-{\frac {({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {v}}_{3})}{({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {u}}_{1})}}{\boldsymbol {u}}_{1}-{\frac {({\boldsymbol {u}}_{2},{\boldsymbol {v}}_{3})}{({\boldsymbol {u}}_{2},{\boldsymbol {u}}_{2})}}{\boldsymbol {u}}_{2}\\&\vdots \\{\boldsymbol {u}}_{n}&:={\boldsymbol {v}}_{n}-{\frac {({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {v}}_{n})}{({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {u}}_{1})}}{\boldsymbol {u}}_{1}-{\frac {({\boldsymbol {u}}_{2},{\boldsymbol {v}}_{n})}{({\boldsymbol {u}}_{2},{\boldsymbol {u}}_{2})}}{\boldsymbol {u}}_{2}-\dotsb -{\frac {({\boldsymbol {u}}_{n-1},{\boldsymbol {v}}_{n})}{({\boldsymbol {u}}_{n-1},{\boldsymbol {u}}_{n-1})}}{\boldsymbol {u}}_{n-1}\\&:={\boldsymbol {v}}_{n}-\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n-1}{\dfrac {({\boldsymbol {u}}_{i},{\boldsymbol {v}}_{n})}{({\boldsymbol {u}}_{i},{\boldsymbol {u}}_{i})}}{\boldsymbol {u}}_{i}\end{aligned}}$

によって順に新しいベクトルを作っていくと、{u₁, u₂, …, u_n} は新しい線型独立系になる。構成から、互いに直交していることは容易に分かる。

正規化: ${\boldsymbol {e}}_{i}:={\frac {{\boldsymbol {u}}_{i}}{({\boldsymbol {u}}_{i},{\boldsymbol {u}}_{i})^{1/2}}}$

とおけば {e₁, e₂, …, e_n} が求める性質を満たす正規直交系であることが分かる。

[脚注の使い方]

Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix analysis (Second ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54823-6. MR2978290. https://books.google.com/books?id=5I5AYeeh0JUC&pg=PA15

演算・操作	乗法転置逆行列サラスの方法基本変形対角化分解 LU QR コレスキーシューア特異値固有値
不変量	行列式跡階数固有値と固有ベクトル固有多項式最小多項式単因子階数標準形スミス標準形ジョルダン標準形有理標準形小行列式
クラス	正則基本対称エルミート正規直交回転ユニタリ冪零射影正定値ユニモジュラー置換区分

基本的な概念	浮動小数点数値的安定性疎行列 Z-行列 M行列条件数ゲルシュゴリンの定理クリロフ部分空間
ソフトウェア	MATLAB 数値解析ソフトの比較/一覧
ライブラリ	Armadillo Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS) INTLAB Intel oneAPI Math Kernel Library LAPACK NumPy OpenBLAS 線型代数学ライブラリの比較
反復法・技法	SOR法共役勾配法 GMRES法固有値問題の数値解法ランチョス法 QR法べき乗法逆べき乗法ヤコビ法 (固有値問題) シュトラッセンのアルゴリズムハウスホルダー変換ギブンス回転
人物	ジェームズ・H・ウィルキンソンクリーブ・モラーニコラス・ハイアムジーン・ゴラブリチャード・バルガ