Spazio normale

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In matematica, e più precisamente in topologia, uno spazio normale è uno spazio topologico che soddisfa il seguente assioma di separazione:

Per ogni coppia di chiusi disgiunti (E, F), esiste una coppia di aperti disgiunti (U,V) tali che U contiene E e V contiene F.

Uno spazio T₄ è uno spazio normale che è anche T₁. Questa condizione è necessaria affinché l'assioma T₄ implichi gli assiomi di separazione precedenti T₀, T₁, T₂ e T₃. È noto che invece uno spazio regolare o uno spazio completamente regolare non sono per forza T4. Come esempio viene spesso utilizzato il piano di Moore, che è di Tychonoff ma non è normale.

Nelle pubblicazioni matematiche la nomenclatura è spesso instabile e le due definizioni sono spesso scambiate, a seconda del periodo storico o del gusto dell'autore.

Funzioni continue definite su spazi normali

L'importanza degli spazi normali risiede nella ricchezza delle funzioni continue che è possibile definirvi. Negli spazi normali (non necessariamente T₄), vale infatti l'importante proprietà enunciata dal lemma di Urysohn:

Per ogni coppia di chiusi disgiunti (E,F) di X, esiste una funzione reale continua che assuma valore 0 su E e valga 1 su F.

Definizione equivalente

Un'altra condizione del tutto equivalente è la seguente, valida per tutti gli spazi normali:

dati un chiuso E e un aperto A che lo contiene, esiste sempre un aperto U contenente E la cui chiusura è contenuta in A.

È sufficiente considerare l'insieme chiuso F come complementare di A ed applicare la definizione, ricordando i teoremi di De Morgan.

Questa formulazione si mostra più maneggevole di quella canonica in alcune dimostrazioni, come ad esempio quella del lemma di Urysohn.

Spazio perfettamente normale

In analogia a quanto si fa con quelli regolari si potrebbe definire spazio completamente normale uno spazio tale che per ogni coppia di chiusi disgiunti (E,F), esiste una funzione continua $f\colon X\to [0,1]$ , che valga 0 su E e 1 su F.

Il lemma di Urysohn mostra che tale proprietà, apparentemente più restrittiva, è invece perfettamente equivalente a quella di spazio normale. Per questo la condizione deve farsi ancora più precisa, cioè:

Per ogni coppia di chiusi disgiunti (E,F), esiste una funzione continua $f\colon X\to [0,1]$ tale che $f^{-1}(0)=E$ e $f^{-1}(1)=F$ .

Questa proprietà è effettivamente più restrittiva della definizione di spazio normale: uno spazio che la soddisfa si dice spazio perfettamente normale. Uno spazio T₅ è uno spazio T₁ perfettamente normale.

Spazi metrici

Se $X$ è uno spazio metrico, $A,B$ due suoi sottoinsiemi, $x$ un punto qualsiasi, definiamo

d(x,A)=\inf\{d(x,a):a\in A\}.

Posto $g_{A}(x)=d(x,A)$ è facile dimostrare, usando la disuguaglianza triangolare, che per ogni coppia di $x$ e $y$ in $X$ si ha:

|g_{A}(x)-g_{A}(y)|\leq d(x,y),

definendo così una funzione continua (anzi lipschitziana).

Se $E$ , $F$ sono due insiemi chiusi disgiunti, definiamo:

f(x)={\frac {g_{E}(x)}{g_{E}(x)+g_{F}(x)}}.

La funzione è ben definita perché i due termini al denominatore non si annullano mai contemporaneamente (ricordiamo che i due sottoinsiemi sono disgiunti). Per note proprietà delle funzioni reali essa è continua e assume il valore 0 su $E$ e il valore 1 su $F$ . Se ne deduce che ogni spazio metrico è completamente normale e quindi T₄.