Sistema dinamico lineare

Nell'analisi dei sistemi dinamici, un sistema dinamico lineare è un sistema dinamico la cui evoluzione è governata da un'equazione lineare, e che quindi soddisfa il principio di sovrapposizione degli effetti. Le equazioni differenziali che descrivono tale classe di sistemi dinamici sono particolarmente semplici, e possono essere frequentemente risolte in modo esatto.

Un sistema dinamico è un concetto astratto che si utilizza per rappresentare il comportamento di un processo fisico nello spazio e nel tempo. Viene modellizzato con una funzione ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ che, nel dominio del tempo, ad una sollecitazione ${\displaystyle \mathbf {u} _{in}(t)}$ fornisce una risposta ${\displaystyle \mathbf {u} _{out}(t)}$:

${\displaystyle \mathbf {u} _{out}(t)=\mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in}(t))}$

I sistemi lineari sono soggetti al principio di sovrapposizione, ovvero un sistema è lineare se valgono le seguenti proprietà:

${\displaystyle \mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in_{1}}+\mathbf {u} _{in_{2}})=\mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in_{1}})+\mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in_{2}})\qquad \forall \mathbf {u} _{in_{1}},\mathbf {u} _{in_{2}}}$

${\displaystyle \mathbf {Z} (c\mathbf {u} _{in})=c\mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in})\qquad c\in \mathbb {R} }$

Una classe particolarmente importante di sistemi dinamici lineari è quella dei sistemi tempo-invarianti.

Un sistema dinamico è lineare quando dipende linearmente dalle variabili di stato ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$ e dalle variabili di ingresso ${\displaystyle \mathbf {u} (t)}$. Viene descritto dalla variazione del vettore colonna di stato ${\displaystyle \mathbf {x} }$, ambientato in uno spazio vettoriale di dimensione ${\displaystyle n}$ detto spazio delle fasi, secondo le equazioni matriciali:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} (t)}{dt}}=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t)}$

dove ${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$ è l'uscita o evoluzione. Lo stato ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$ è un vettore di dimensione ${\displaystyle n}$, l'ingresso ${\displaystyle \mathbf {u} (t)}$ ha dimensione ${\displaystyle q}$, mentre ${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$ ha dimensione ${\displaystyle p}$; sono moltiplicati per le matrici ${\displaystyle A}$ matrice di dimensione ${\displaystyle n\times n}$, ${\displaystyle B}$ matrice di dimensione ${\displaystyle n\times q}$, ${\displaystyle C}$ matrice di dimensione ${\displaystyle p\times n}$ e ${\displaystyle D}$ matrice di dimensione ${\displaystyle p\times q}$.

Nel caso di un sistema dinamico a tempo discreto l'equazione ha la forma:

${\displaystyle \mathbf {x} (n+1)=A(n)\mathbf {x} (n)+B(n)\mathbf {u} (n)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (n)=C(n)\mathbf {x} (n)+D(n)\mathbf {u} (n)}$

con ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$.

Un sistema stazionario (o tempo invariante) è un sistema i cui parametri non dipendono dal tempo. Viene descritto da un sistema di equazioni differenziali a coefficienti costanti:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\frac {d\mathbf {x} (t)}{dt}}=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)\\\mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)\end{matrix}}\right.\,}$

Si tratta di una classe di problemi particolarmente studiata e della quale sono state sviluppate molte tecniche di analisi; molte sono ad esempio basate sulla funzione di trasferimento e sul formalismo della rappresentazione spettrale dei segnali e in spazio di stato.

Talvolta si sceglie di rappresentare il sistema soltanto attraverso la variazione del suo stato a partire da uno stato iniziale ${\displaystyle \mathbf {x} (t=0)}$, ovvero con una relazione del tipo:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=F(t)\cdot \mathbf {x} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{0}=\mathbf {x} (0)}$

Se il vettore iniziale ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ è allineato con un autovettore destro ${\displaystyle \mathbf {r} _{k}}$ di ${\displaystyle F}$, allora:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=F\cdot \mathbf {r} _{k}=\lambda _{k}\mathbf {r} _{k}}$

con ${\displaystyle \lambda _{k}}$ l'autovalore corrispondente. La soluzione è:

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {r} _{k}e^{\lambda _{k}t}}$

come si verifica per sostituzione.

Se ${\displaystyle F}$ è diagonalizzabile, ogni vettore ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ può essere scritto come combinazione lineare di autovettori destro ${\displaystyle \mathbf {r} _{k}}$ e sinistro ${\displaystyle \mathbf {l} _{k}}$ di ${\displaystyle F}$:

${\displaystyle \mathbf {x} _{0}=\sum _{k=1}^{N}\left(\mathbf {l} _{k},\mathbf {x} _{0}\right)\mathbf {r} _{k}}$

dove ${\displaystyle \left(\cdot ,\cdot \right)}$ è il prodotto scalare che fornisce i coefficienti. Dunque, la soluzione generale ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$ è la combinazione lineare:

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\sum _{k=1}^{n}\left(\mathbf {l} _{k}\cdot \mathbf {x} _{0}\right)\mathbf {r} _{k}e^{\lambda _{k}t}}$

Dato il sistema in due dimensioni:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=A\mathbf {x} (t)}$

il polinomio caratteristico ha la forma:

${\displaystyle \det(A-\lambda I)=\lambda ^{2}-\tau \lambda +\Delta =0}$

con ${\displaystyle \tau }$ la traccia e ${\displaystyle \Delta }$ il determinante di ${\displaystyle A}$. Le radici ${\displaystyle \lambda _{n}}$ sono gli autovalori di ${\displaystyle A}$, ed hanno la forma:

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {\tau +{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}\qquad \lambda _{2}={\frac {\tau -{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}}$

Si nota che ${\displaystyle \Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}}$ e ${\displaystyle \tau =\lambda _{1}+\lambda _{2}}$, sicché se ${\displaystyle \Delta <0}$ gli autovalori hanno segno opposto ed il punto fisso è un punto di sella. Se invece ${\displaystyle \Delta >0}$ gli autovalori hanno lo stesso segno, e quindi se ${\displaystyle \tau >0}$ sono entrambi positivi (ed il punto è instabile) mentre se ${\displaystyle \tau <0}$ sono entrambi negativi (ed il punto è stabile).

Un circuito RC è formato da un generatore di tensione che fornisce un segnale di ingresso ${\displaystyle V_{in}(t)}$ e da un resistore ${\displaystyle R}$ in serie ad un condensatore di capacità ${\displaystyle C}$. La legge di Kirchhoff delle tensioni per la maglia è:

${\displaystyle R\cdot i(t)+V_{out}(t)=V_{in}(t)}$

Usando la relazione caratteristica del condensatore la corrente che scorre nel circuito è:

${\displaystyle i(t)=C{\frac {d}{dt}}V_{out}(t)}$

si ha sostituendo:

${\displaystyle RC{\frac {d}{dt}}V_{out}+V_{out}=V_{in}}$

Si tratta di un'equazione differenziale di ordine 1 con costante di tempo ${\displaystyle \tau =RC}$.

• (EN) Phillips, C.l., Parr, J.M., & Riskin, E.A, Signals, systems and Transforms, Prentice Hall, 2007, ISBN 0-13-041207-4.
• (EN) Hespanha,J.P., Linear System Theory, Princeton university press, 2009, ISBN 0-691-14021-9.
• E. Fornasini, G. Marchesini, Appunti di Teoria dei Sistemi, Edizioni Libreria Progetto, Padova, 2003.
• A. Ruberti, S. Monaco, Teoria dei Sistemi - Appunti dalle lezioni, Pitagora Editrice, Bologna, 1998.

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