Settimo problema di Hilbert

In matematica, il settimo problema di Hilbert è uno dei problemi matematici posti da David Hilbert nel 1900. Riguarda l'irrazionalità e la trascendenza di particolari numeri (Irrationalität und Transzendenz bestimmter Zahlen). Il problema è posto in due forme equivalenti:^[1]

In un triangolo isoscele, se il rapporto tra l'angolo alla base e l'angolo al vertice è algebrico ma non razionale, si può affermare che il rapporto tra base e lato è sempre trascendente?
Si può affermare che $a^{b}$ è sempre trascendente, per ogni numero algebrico $a\not \in \{0,1\}$ e ogni irrazionale algebrico $b$ ?

Aleksandr Osipovič Gel'fond ha risposto affermativamente alle due domande nel 1934 e Theodor Schneider ha esteso il suo risultato nel 1935. Il risultato raggiunto è noto come teorema di Gel'fond o teorema di Gel'fond–Schneider. La restrizione a $b$ irrazionale è importante, dato che è semplice verificare che $a^{b}$ è algebrico per $a$ algebrico e $b$ razionale. Anche la restrizione a $b$ algebrico è necessaria, in quanto ad esempio se $a=2$ e $b={\frac {\log 3}{\log 2}}$ si ha che $a^{b}=3$ che non è trascendente.

Il teorema è stato successivamente esteso da Alan Baker che ha dimostrato un importante risultato riguardante forme lineari in logaritmi.

Note

^ A. N. Parshin e I. R. Shafarevich, Number Theory IV Transcendental Numbers, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1998, pp. 146-147, ISBN 978-3-540-61467-8.