Misura deltiforme

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In teoria della misura, la misura deltiforme o misura di Dirac è una misura che assume solo i valori 1 o 0. Sia ${\displaystyle X}$ un insieme (con una sigma algebra di suoi sottoinsiemi), ${\displaystyle E\in X}$ un insieme misurabile e ${\displaystyle x\in X}$. La misura deltiforme è la misura ${\displaystyle \delta _{x}}$ su ${\displaystyle X}$ tale per cui la misura di ${\displaystyle E}$ è 1 se ${\displaystyle x\in E}$ e 0 altrimenti:

${\displaystyle \delta _{x}(E)=\left\{{\begin{matrix}0&x\not \in E\\1&x\in E\end{matrix}}\right.}$

Fa la stessa cosa della funzione indicatrice.

La misura deltiforme di un insieme ${\displaystyle E}$ può anche essere scritta:

${\displaystyle \delta _{x}(E)=\int _{E}\,d\delta _{x}}$

Usando la misura di Lebesgue e la funzione generalizzata delta di Dirac ${\displaystyle \delta }$ si può anche scrivere:

${\displaystyle \delta _{x}(E)=\int _{E}\delta (y-x)\,d\mu (y)}$

In modo analogo l'integrale di una funzione ${\displaystyle f}$ rispetto alla misura deltiforme può essere scritto:

${\displaystyle \int _{X}f(y)\,d\delta _{x}=\int _{X}f(y)\delta (y-x)\,d\mu (y)=f(x)}$

Il supporto della misura deltiforme ${\displaystyle \mu _{\delta }}$ è il singoletto ${\displaystyle \{x_{0}\}}$.

Bibliografia

• (EN) Jean Dieudonné, Examples of measures, in Treatise on analysis, Part 2, Academic Press, 1976, p. 100, ISBN 0-12-215502-5.
• (EN) John Benedetto, §2.1.3 Definition, δ, in Harmonic analysis and applications, CRC Press, 1997, p. 72, ISBN 0-8493-7879-6.

Voci correlate

• Delta di Dirac
• Funzione indicatrice
• Misura (matematica)
• Misura discreta

Collegamenti esterni

• (EN) Dirac measure, in PlanetMath.

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