Matrice di Hankel

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Nell'algebra lineare, una matrice di Hankel è una matrice quadrata con diagonali (a pendenza positiva) costanti, ad esempio;

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&c&d&e&f\\c&d&e&f&g\\d&e&f&g&h\\e&f&g&h&i\\\end{bmatrix}}}$

In termini matematici:

${\displaystyle a_{i,j}=a_{i-1,j+1}}$

La matrice di Hankel è strettamente connessa alla matrice di Toeplitz: infatti si può ottenere invertendo l'ordine delle sue righe o invertendo l'ordine delle sue colonne.

Un operatore di Hankel su uno spazio di Hilbert è un operatore rappresentato in una base ortonormale da una matrice di Hankel di dimensione infinita  ${\displaystyle (a_{i,j})_{i,j\geq 0}}$,  dove  ${\displaystyle a_{i,j}}$  dipende solo da  ${\displaystyle i+j}$. La matrice di Hankel prende il nome dal matematico tedesco Hermann Hankel (1839-1873).

La trasformata di Hankel è il nome che spesso viene dato alla trasformazione di una sequenza, dove la sequenza trasformata corrisponde al determinante della matrice di Hankel, cioè la sequenza  ${\displaystyle \{h_{n}\}}$  è la trasformata di Hankel della sequenza ${\displaystyle \{b_{n}\}}$  dove

${\displaystyle h_{n}=\det(b_{i+j})_{0\leq i,j\leq n}}$

Ora,  ${\displaystyle a_{i,j}=b_{i+j}}$  è la matrice di Hankel della sequenza  ${\displaystyle \{b_{n}\}}$. La trasformata di Hankel è invariante rispetto alla trasformata binomiale di una sequenza. Cioè, se si scrive

${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b_{k}}$

come trasformata binomiale della sequenza  ${\displaystyle \{b_{n}\}}$,  allora risulta

${\displaystyle \det(b_{i+j})_{0\leq i,j\leq n}=\det(c_{i+j})_{0\leq i,j\leq n}}$

Le matrici di Hankel vengono formate quando, nota una sequenza di dati in uscita, si richiede la realizzazione di un sottostante spazio-condizione o di un modello di Markov nascosto. La scomposizione a singolo valore della Matrice di Hankel fornisce un mezzo per il calcolo delle matrici  ${\displaystyle A}$,   ${\displaystyle B}$   e  ${\displaystyle C}$,   che definiscono la realizzazione dello stato.

• Hermann Hankel
• Problema del momento di Hamburger

• (EN) Eric W. Weisstein, Matrice di Hankel, su MathWorld, Wolfram Research.

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