Composizione di funzioni

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In matematica, la composizione di funzioni è l'applicazione di una funzione al risultato di un'altra funzione. Più precisamente, una funzione ${\displaystyle f}$ tra due insiemi ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ associa ogni elemento di ${\displaystyle X}$ a uno di ${\displaystyle Y}$: in presenza di un'altra funzione ${\displaystyle g}$ che associa ogni elemento di ${\displaystyle Y}$ a un elemento di un altro insieme ${\displaystyle Z}$, si definisce la composizione di ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ come la funzione che associa ogni elemento di ${\displaystyle X}$ a uno di ${\displaystyle Z}$ usando prima ${\displaystyle f}$ e poi ${\displaystyle g}$. Il simbolo Unicode dell'operatore è ∘ (U+2218).

Definizione

Formalmente, date due funzioni ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ e ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$ definiamo la funzione composta:

${\displaystyle g\circ f\colon X\rightarrow Z}$

${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))\ \forall x\in X}$

applicando prima ${\displaystyle f}$ ad ${\displaystyle x}$ e quindi applicando ${\displaystyle g}$ al risultato ${\displaystyle f(x)}$.

Ad esempio, supponiamo che l'altezza di un aereo al tempo ${\displaystyle t}$ sia data da una funzione ${\displaystyle h(t)}$ e che la concentrazione di ossigeno nell'atmosfera all'altezza ${\displaystyle x}$ sia data da un'altra funzione ${\displaystyle c(x)}$. Allora ${\displaystyle (c\circ h)(t)=c(h(t))}$ descrive la concentrazione di ossigeno nella posizione in cui sta l'aereo al tempo ${\displaystyle t}$.

Per ragioni storiche la composizione è scritta "da destra verso sinistra", in contrasto con la normale lettura "da sinistra a destra" delle lingue europee. Per questo motivo alcuni autori preferiscono usare una notazione invertita, e scrivere ${\displaystyle xfg}$ invece di ${\displaystyle g(f(x))}$.

Per comporre due funzioni è strettamente necessario che il dominio di ${\displaystyle g}$ coincida con il codominio di ${\displaystyle f}$. In alcuni ambiti, tuttavia, identificando impropriamente due funzioni che hanno la stessa legge di applicazione, ma diversi domini e codomini, si ritiene sufficiente che l'immagine di ${\displaystyle f}$ e il dominio di ${\displaystyle g}$ abbiano un'intersezione non vuota.

Proprietà

La composizione di funzioni è sempre associativa. In altre parole, se ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$ e ${\displaystyle h}$ sono tre funzioni con domini e codomini opportuni, allora ${\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h}$. Per questo motivo si possono omettere le parentesi nella composizione di più funzioni.

La composizione di due funzioni iniettive è iniettiva, e di due funzioni suriettive è suriettiva. Quindi la composizione di due funzioni biettive è biettiva. Ma non vale il viceversa.

L'insieme delle funzioni biettive ${\displaystyle f\colon X\to X}$, con l'operazione di composizione, è un gruppo. La proprietà associativa è garantita per quanto detto sopra, l'elemento neutro è la funzione identità ${\displaystyle (f(x)=x}$ per ogni ${\displaystyle x}$) e un inverso esiste sempre perché le funzioni sono biettive. Questo gruppo è detto anche gruppo delle permutazioni di ${\displaystyle X}$. Se l'insieme ${\displaystyle X}$ contiene più di due elementi, tale gruppo non è commutativo: generalmente due funzioni biettive non commutano.

Derivata delle funzioni composte

Lo stesso argomento in dettaglio: Regola della catena.

La derivata della funzione composta è il prodotto tra la derivata della funzione "esterna" moltiplicata per la derivata della funzione "interna":

${\displaystyle D[f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x)}$

dove le notazioni ${\displaystyle D[f(x)]}$ e ${\displaystyle f'(x)}$ indicano il medesimo significato di derivata.

La formula è valida anche per funzioni di più variabili reali e per funzioni vettoriali. Il teorema di derivazione delle funzioni composte afferma che se:

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),\dots ,x_{n}(t))\quad t\in \mathbb {R} }$

è un vettore di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ le cui componenti sono funzioni derivabili:

${\displaystyle \mathbf {x} '(t)=(x'_{1}(t),x'_{2}(t),\dots ,x'_{n}(t))}$

e se ${\displaystyle f}$ è una funzione differenziabile in ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$, allora la funzione composta:

${\displaystyle F(t)=f(\mathbf {x} (t))}$

è differenziabile nella variabile ${\displaystyle t}$ e si ha:

${\displaystyle F'(t)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f(\mathbf {x} (t))}{\partial x_{i}}}x'_{i}(t)=(\nabla F(\mathbf {x} ),\mathbf {x} '(t))}$

dove ${\displaystyle \nabla }$ è il gradiente di ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle (,)}$ è il prodotto scalare euclideo standard.

Infine, se ${\displaystyle \mathbf {f} }$ e ${\displaystyle \mathbf {g} }$ sono due funzioni vettoriali differenziabili componibili, allora:

${\displaystyle J[(\mathbf {f} \circ \mathbf {g} )(x)]=J[\mathbf {f} (\mathbf {g} (x))]\cdot J[\mathbf {g} (x)]}$

dove ${\displaystyle \cdot }$ è la moltiplicazione di matrici e ${\displaystyle J[\mathbf {f} (x)]}$ è la matrice jacobiana di ${\displaystyle \mathbf {f} }$.

Composizioni iterate

Una funzione ${\displaystyle f\colon X\to X}$ (non necessariamente biettiva) può essere composta con sé stessa ${\displaystyle n}$ volte, ed il risultato, detto iterata ${\displaystyle n}$-esima di ${\displaystyle f}$, può essere scritto ${\displaystyle f^{n}}$ quando non genera ambiguità. Ad esempio con ${\displaystyle \sin ^{2}(x)}$ si denota comunemente il quadrato del seno di ${\displaystyle x}$, cioè ${\displaystyle \sin(x)^{2}=\sin(x)\cdot \sin(x)}$, anziché il valore in ${\displaystyle x}$ della composizione del seno con se stesso, cioè ${\displaystyle (\sin \circ \sin )(x)=\sin(\sin(x))}$.

Lo studio delle composizioni iterate di una funzione è argomento comune nell'ambito dei sistemi dinamici discreti e in particolare nella definizione dei frattali, che si possono trovare iterando infinite volte una funzione.

Voci correlate

• Funzione (matematica)
• Funzione inversa
• Anello di composizione
• Funzione di ordine superiore
• Lambda calcolo
• Diagramma a ragnatela
• Radice quadrata funzionale
• Analisi frazionaria
• Flusso (matematica)

Altri progetti

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla composizione di funzioni

Collegamenti esterni

• funzioni, composizione di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Composizione di funzioni, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Composizione di funzioni, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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