Biforcazione transcritica

In Matematica una biforcazione transcritica è una biforcazione locale nella quale, al variare del parametro, si ha un cambiamento di stabilità dei punti d'equilibrio.

Descrizione

Sia prima che dopo la biforcazione vi sono, infatti, un punto d'equilibrio stabile ed uno instabile. Ad un certo valore critico i due punti coincidono e si scambiano la stabilità. In tal modo il punto instabile diventa stabile e viceversa.

L'esempio classico di biforcazione transcritica è dato dall'equazione differenziale

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=rx-x^{2}}$

L'equazione è simile a quella dell'equazione logistica, solo che in questo caso sia ${\displaystyle x}$ che ${\displaystyle r}$ possono assumere valori qualunque, sia positivi che negativi (mentre nella logistica non avrebbe senso considerare popolazioni negative).

Studiando il campo vettoriale al variare di ${\displaystyle r}$ si nota come i due punti di equilibrio restino sempre ${\displaystyle x=0}$ ed ${\displaystyle x=r}$, sebbene le stabilità cambino a seconda del parametro.

• Se ${\displaystyle r<0}$ vi è un punto di equilibrio instabile in ${\displaystyle x=-r}$ ed uno stabile in ${\displaystyle x=0}$.
• Se ${\displaystyle r=0}$ i due punti di equilibrio collidono nel solo ${\displaystyle x=0}$ instabile a sinistra e stabile a destra. È questo il valore in cui si ha lo scambio di stabilità tra i due punti.
• Se ${\displaystyle r>0}$ vi è un punto di equilibrio instabile in ${\displaystyle x=0}$ ed uno stabile in ${\displaystyle x=r}$.

Dal diagramma di biforcazione si vede la presenza di due rami: uno stabile coincidente con l'asse delle ascisse per ${\displaystyle r<0}$ e con la bisettrice principale per ${\displaystyle r>0}$ e l'altro instabile speculare rispetto all'origine.

Bibliografia

• Strogatz S.H. (1994), Nonlinear Dynamics and Chaos (Perseus Books, Cambridge)

Voci correlate

• Diagramma di biforcazione
• Teoria delle biforcazioni
• Biforcazione a nodo sella
• Biforcazione a forcone

Altri progetti

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Biforcazione transcritica

V · D · M Teoria del caos
Teoria delle biforcazioni	Biforcazione a forcone · Biforcazione a nodo sella · Biforcazione imperfetta · Biforcazione transcritica · Biforcazione di Hopf · Larva del pino (sistema dinamico)
Frattali	Arte frattale · Buddhabrot · Burning ship · Compressione frattale · Curva di Koch · Curva di Peano · Curva di Sierpiński · Dimensione di Hausdorff · Dimensione frattale · Funzione di Cantor · Insieme di Cantor · Insieme di Julia · Insieme di Mandelbrot · Frattali per dimensione di Hausdorff · Polvere di Cantor · Sterling · Triangolo di Sierpiński · Dimensione di Minkowski-Bouligand
Attrattori	Attrattore di Lorenz · Attrattore di Hénon · Mappa di Poincaré · Mappa logistica · Mappa a ferro di cavallo · Spazio delle fasi
Teorici del caos	Edward Norton Lorenz · Aleksandr Michajlovič Ljapunov · Benoît Mandelbrot · Edward Ott · Henri Poincaré · David Ruelle · Stephen Wolfram · James Yorke

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica