Relasi transitif

Dalam matematika, relasi ${\displaystyle R}$ pada himpunan ${\displaystyle X}$ dikatakan transitif jika ${\displaystyle R}$ menghubungkan ${\displaystyle a}$ ke ${\displaystyle b}$ dan menghubungkan ${\displaystyle b}$ ke ${\displaystyle c}$, maka ${\displaystyle R}$ menghubungkan ${\displaystyle a}$ ke ${\displaystyle c}$.

Definisi

Relasi homogen ${\displaystyle R}$ pada himpunan ${\displaystyle X}$ dikatakan transitif jika ${\displaystyle aRb}$ dan ${\displaystyle bRc}$, maka ${\displaystyle aRc}$, untuk semua ${\displaystyle a,b,c,\in X}$.^[1] Secara matematis, dapat ditulis dalam notasi logika orde pertama.

$${\displaystyle \forall a,b,c\in X:(aRb\wedge bRc)\Rightarrow aRc.}$$

Pada notasi di atas, ${\displaystyle aRb}$ merupakan notasi infiks untuk ${\displaystyle (a,b)\in R}$.

Contoh

Contoh relasi transitif dalam matematika memuat "lebih besar dari" dan "sama dengan"; dalam himpunan bilangan real atau bilangan asli.

• jika ${\displaystyle x>y}$, dan ${\displaystyle y>z}$, maka ${\displaystyle x>z}$
• jika ${\displaystyle x=y}$, dan ${\displaystyle y=z}$, maka ${\displaystyle x=z}$.

Relasi transitif dapat dinyatakan juga melalui contoh-contoh non-matematis, seperti relasi "leluhur dari"; sebagai contoh, jika Ani adalah leluhur dari Budi, dan Budi adalah leluhur dari Candra, maka Ani adalah leluhur dari Candra.

Catatan

Referensi

• Smith, Douglas; Eggen, Maurice; St.Andre, Richard (2006), A Transition to Advanced Mathematics (edisi ke-6), Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-39900-9