Bilangan prima Wolstenholme

  • A088164
  • Wolstenholme primes: primes p such that binomial(2p-1,p-1) == 1 (mod p^4)

Dalam teori bilangan, bilangan prima Wolstenholme (bahasa Inggris: Wolstenholme prime) merupakan jenis bilangan prima spesial yang memenuhi teorema Wolstenholme yang lebih kuat. Teorema Wolstenholme melibatkan relasi kekongruenan yang dipenuhi oleh semua bilangan prima yang lebih besar daripada 3. Bilangan prima Wolstenholme dinamai dari seorang matematikawan yang bernama Joseph Wolstenholme, yang pertama kali menjelaskan teorema ini pada abad ke-19.

Bilangan prima ini menjadi banyak perhatian karena memiliki kaitannya dengan Teorema Terakhir Fermat. Selain itu, bilangan prima Wolstenholme juga berkaitan dengan jenis kelas bilangan spesial lainnya, yang dikaji dengan harapan dapat memperumum suatu bukti kebenaran teorema untuk semua bilangan bulat positif yang lebih besar daripada dua.

Dua bilangan prima Wolstenholme yang diketahui hanyalah 16843 dan 2124679 (barisan A088164 pada OEIS). Tiada bilangan prima Wolstenholme yang lebih kecil daripada 109.[2]

Definisi

Bilangan prima Wolstenholme dapat didefinisikan sebagai bilangan prima p > 7 {\displaystyle p>7} yang memenuhi kekongruenan: ( 2 p − 1 p − 1 ) ≡ 1 ( mod p 4 ) . {\displaystyle {2p-1 \choose p-1}\equiv 1{\pmod {p^{4}}}.} Disini, ekspresi di ruas kiri melambangkan koefisien binomial.[3] Sebagai perbandingan, teorema Wolstenholme menyatakan bahwa untuk setiap bilangan prima p > 3 {\displaystyle p>3} , maka berlaku kekongruenan: ( 2 p − 1 p − 1 ) ≡ 1 ( mod p 3 ) . {\displaystyle {2p-1 \choose p-1}\equiv 1{\pmod {p^{3}}}.}

Bilangan prima Wolstenholme didefinisikan sebagai bilangan prima p {\displaystyle p} yang membagi pembilang dari bilangan Bernoulli B p − 3 {\displaystyle B_{p-3}} .[4] Karena itu, bilangan prima Wolstenholme membentuk subhimpunan dari bilangan prima tak beraturan. Bilangan prima Wolstenholme merupakan bilangan prima p {\displaystyle p} sehingga ( p , p − 3 ) {\displaystyle (p,p-3)} merupakan pasangan tak beraturan.[5]

Bilangan prima Wolstenholme adalah bilangan prima p {\displaystyle p} sehingga H p − 1 ≡ 0 ( mod p 3 ) . {\displaystyle H_{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{3}}}.} Ini berarti, pembilang dari bilangan harmonik H p − 1 {\displaystyle H_{p-1}} yang dinyatakan dalam suku terkecil dapat dibagi oleh p 3 {\displaystyle p^{3}} .[6]

Pencarian dan status saat ini

Masalah yang belum terpecahkan dalam matematika:

Adakah bilangan prima Wolstenholme selain 16843 dan 2124679?

Pencarian bilangan prima Wolstenholme dimulai sekitar tahun 1960-an, dan kemudian berlanjut hingga hasil saat ini diterbitkan pada tahun 2007. Bilangan prima Wolstenholme yang pertama, 16843, ditemukan pada tahun 1964, walaupun pada kala itu tidak dilaporkan secara langsung.[7] Penemuan tersebut kemudian dikonfirmasi sekitar tahun 1970-an. Hal ini hanya menyisakan contoh bilangan prima yang diketahui selama hampir 20 tahun, hingga diumumkan penemuan adanya bilangan prima Wolstenholme yang kedua, 2124679, pada tahun 1993.[8] Hingga mencapai 1.2×107, tiada bilangan prima Wolstenholme ditemukan.[9] Pencarian tersebut kemudian diperluas hingga mencapai 2×108 oleh McIntosh 1995, dan Trevisan & Weber 2001 dapat mencari bilangan tersebut hingga mencapai 2,5×108.[10] Hingga pada tahun 2007, hasil laporan mengatakan bahwa hanya ada dua bilangan prima yang lebih kecil daripada 109.[11]

Catatan kaki

  1. ^ Bilangan prima Wolstenholme pertama kali dijelaskan oleh McIntosh 1995, hlm. 385.
  2. ^ (Inggris) Weisstein, Eric W., "Wolstenholme prime", MathWorld 
  3. ^ Cook, J. D., Binomial coefficients, diakses tanggal 21 Desember 2010 
  4. ^ Clarke & Jones 2004, hlm. 553; McIntosh 1995, hlm. 387; Zhao 2008, hlm. 25.
  5. ^ Johnson 1975, hlm. 114; Buhler et al. 1993, hlm. 152.
  6. ^ Zhao 2007, hlm. 18.
  7. ^ Selfridge and Pollack menerbitkan bilangan prima Wolstenholme pertama di Selfridge & Pollack 1964, hlm. 97. Lihat McIntosh & Roettger 2007, hlm. 2092).
  8. ^ Ribenboim 2004, hlm. 23.
  9. ^ Zhao 2007, hlm. 25.
  10. ^ McIntosh 1995, hlm. 387; Trevisan & Weber 2001, hlm. 283–284.
  11. ^ McIntosh & Roettger 2007, hlm. 2092.

Referensi

  • Buhler, J.; Crandall, R.; Ernvall, R.; Metsänkylä, T. (1993), "Irregular Primes and Cyclotomic Invariants to Four Million" (PDF), Mathematics of Computation, 61 (203): 151–153, Bibcode:1993MaCom..61..151B, doi:10.2307/2152942 alt=Dapat diakses gratis, JSTOR 2152942 
  • Clarke, F.; Jones, C. (2004), "A Congruence for Factorials" (PDF), Bulletin of the London Mathematical Society, 36 (4): 553–558, doi:10.1112/S0024609304003194 
  • Johnson, W. (1975), "Irregular Primes and Cyclotomic Invariants" (PDF), Mathematics of Computation, 29 (129): 113–120, doi:10.2307/2005468 alt=Dapat diakses gratis, JSTOR 2005468, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2022-12-07, diakses tanggal 2023-04-27 
  • McIntosh, R. J. (1995), "On the converse of Wolstenholme's Theorem" (PDF), Acta Arithmetica, 71 (4): 381–389, doi:10.4064/aa-71-4-381-389 alt=Dapat diakses gratis, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2022-12-08, diakses tanggal 2023-04-27 
  • McIntosh, R. J.; Roettger, E. L. (2007), "A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes" (PDF), Mathematics of Computation, 76 (260): 2087–2094, Bibcode:2007MaCom..76.2087M, doi:10.1090/S0025-5718-07-01955-2 alt=Dapat diakses gratis 
  • Ribenboim, P. (2004), "Chapter 2. How to Recognize Whether a Natural Number is a Prime", The Little Book of Bigger Primes, New York: Springer-Verlag New York, Inc., ISBN 978-0-387-20169-6, diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-05-14, diakses tanggal 2023-06-07 
  • Selfridge, J. L.; Pollack, B. W. (1964), "Fermat's last theorem is true for any exponent up to 25,000", Notices of the American Mathematical Society, 11: 97 
  • Trevisan, V.; Weber, K. E. (2001), "Testing the Converse of Wolstenholme's Theorem" (PDF), Matemática Contemporânea, 21: 275–286, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2022-09-22, diakses tanggal 2023-04-27 
  • Zhao, J. (2007), "Bernoulli numbers, Wolstenholme's theorem, and p5 variations of Lucas' theorem" (PDF), Journal of Number Theory, 123: 18–26, doi:10.1016/j.jnt.2006.05.005 alt=Dapat diakses gratis, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2022-10-06, diakses tanggal 2023-04-27  Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
  • Zhao, J. (2008), "Wolstenholme Type Theorem for Multiple Harmonic Sums" (PDF), International Journal of Number Theory, 4 (1): 73–106, doi:10.1142/s1793042108001146, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2022-10-06, diakses tanggal 2023-04-27 

Bacaan lebih lanjut

  • Babbage, C. (1819), "Demonstration of a theorem relating to prime numbers", The Edinburgh Philosophical Journal, 1: 46–49 
  • Krattenthaler, C.; Rivoal, T. (2009), "On the integrality of the Taylor coefficients of mirror maps, II", Communications in Number Theory and Physics, 3 (3): 555–591, arXiv:0907.2578 alt=Dapat diakses gratis, Bibcode:2009arXiv0907.2578K, doi:10.4310/CNTP.2009.v3.n3.a5 
  • Wolstenholme, J. (1862), "On Certain Properties of Prime Numbers", The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, 5: 35–39