Weibull-eloszlás

A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén a Weibull-eloszlás egy folytonos valószínűség-eloszlás.

Ezt az eloszlást Waloddi Weibullról nevezték el, aki 1951-ben írta le részletesen.

Az eloszlást Maurice Fréchet (1927) fedezte fel, és 1933-ban alkalmazták először granulált részecskék (granulátumok) eloszlására.

Meghatározás

A Weibull x valószínűségi változó valószínűség-sűrűségfüggvénye:[1]

f ( x ; λ , k ) = { k λ ( x λ ) k − 1 e − ( x / λ ) k x ≥ 0 , 0 x < 0 , {\displaystyle f(x;\lambda ,k)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geq 0,\\0&x<0,\end{cases}}}

ahol k > 0 az alakparaméter és λ > 0 a skálaparaméter. A komplementer kumulatív eloszlásfüggvénye a nyújtott exponenciális függvény. A Weibull-eloszlás több más valószínűségi eloszlással is kapcsolatos, különösen az exponenciális eloszlással (k = 1), és a Rayleigh-eloszlással (k = 2). A Weibull-eloszlás ez utóbbi kettő közötti interpolációjának tekinthető. Ha x az az érték, mely a meghibásodásig eltelt időt jelzi, akkor a Weibull-eloszlás az idővel arányos meghibásodási gyakoriságot jelzi. A k alakparaméter értelmezése a következő:

  • k<1 azt jelenti, hogy a meghibásodási gyakoriság idővel csökken. Ez akkor fordul elő, ha a kezdeti meghibásodás jelentős, és idővel ezért csökken a meghibásodás, mert a potenciálisan hibás elemek már kiestek a rendszerből.
  • k=1 esetén a meghibásodási gyakoriság időben állandó. Ez azt jelenti, hogy a hibákat véletlenszerű külső események okozzák.
  • k>1 azt jelzi, hogy a meghibásodási gyakoriság időben növekszik. Ez akkor fordulhat elő, amikor a vizsgálat tárgya az öregedési tartományba kerül, a rendszer alkotóelemei az elöregedés, és az elhasználódás miatt egyre gyakrabban hibásodnak meg.

Az anyagtudományok területén a k alakparaméter Weibull-modulusként ismert.

Tulajdonságok

Sűrűségfüggvény

Valószínűség-sűrűségfüggvény (2 paraméteres)
Kumulatíveloszlás-függvény (2 paraméteres)

A Weibull-eloszlás sűrűségfüggvénye drasztikusan változik a k értéktől függően.

0 < k < 1 tartományban a sűrűségfüggvény ∞ felé tart, ha x tart a zéróhoz.

k = 1 esetében a sűrűségfüggvény az 1/λ felé tart, amikor x közelít a zéróhoz.

k > 1 esetén a sűrűségfüggvény zéróhoz tart, ha x zéróhoz tart, és monoton nő a maximumig, majd csökkenni kezd. Érdemes megjegyezni, hogy a sűrűségfüggvény negatív meredekségű x=0-nál, ha 0 < k < 1; monoton pozitív meredekségű x= 0-nál, ha 1 < k < 2, és lapos x= 0-nál, ha k > 2.

k= 2 esetén a sűrűség monoton pozitív meredekségű x=0-nál.

Ha k tart a végtelenbe, a Weibull-eloszlás a Dirac delta eloszláshoz konvergál x= λ középértékkel.

Eloszlásfüggvény

A Weibull-eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye:

F ( x ; k , λ ) = 1 − e − ( x / λ ) k {\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\,}

x ≥ 0, és F(x; k; λ) = 0 x < 0 esetén. A meghibásodási gyakoriság h (vagy hazárd ráta):

h ( x ; k , λ ) = e − ( x λ ) k k λ ( x λ ) k − 1 . {\displaystyle h(x;k,\lambda )=e^{-\left({x \over \lambda }\right)^{k}}{k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}.}

Momentumok

A Weibull-eloszlású valószínűségi változók logaritmusának a momentum-generáló függvénye:[2]

E [ e t log ⁡ X ] = λ t Γ ( t k + 1 ) {\displaystyle E\left[e^{t\log X}\right]=\lambda ^{t}\Gamma \left({\frac {t}{k}}+1\right)}

ahol Γ {\displaystyle \Gamma } a gamma-függvény. Hasonlóan a log X karakterisztikus függvénye:

E [ e i t log ⁡ X ] = λ i t Γ ( i t k + 1 ) . {\displaystyle E\left[e^{it\log X}\right]=\lambda ^{it}\Gamma \left({\frac {it}{k}}+1\right).}

Az X n-edik nyers momentuma:

m n = λ n Γ ( 1 + n k ) . {\displaystyle m_{n}=\lambda ^{n}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).}

Egy Weibull valószínűségi változó középértéke és szórásnégyzete:

E ( X ) = λ Γ ( 1 + 1 k ) {\displaystyle \mathrm {E} (X)=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,}

és

var ( X ) = λ 2 [ Γ ( 1 + 2 k ) − Γ 2 ( 1 + 1 k ) ] . {\displaystyle {\textrm {var}}(X)=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\Gamma ^{2}\left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right]\,.}

A ferdeség:

γ 1 = Γ ( 1 + 3 k ) λ 3 − 3 μ σ 2 − μ 3 σ 3 {\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}

ahol μ {\displaystyle \mu } a középérték és σ {\displaystyle \sigma } a szórás. A többletlapultság:

γ 2 = − 6 Γ 1 4 + 12 Γ 1 2 Γ 2 − 3 Γ 2 2 − 4 Γ 1 Γ 3 + Γ 4 [ Γ 2 − Γ 1 2 ] 2 {\displaystyle \gamma _{2}={\frac {-6\Gamma _{1}^{4}+12\Gamma _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{2}^{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{2}}}}

ahol Γ i = Γ ( 1 + i / k ) {\displaystyle \Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)} . A lapultság még kifejezhető így is:

γ 2 = λ 4 Γ ( 1 + 4 k ) − 4 γ 1 σ 3 μ − 6 μ 2 σ 2 − μ 4 σ 4 − 3 {\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\lambda ^{4}\Gamma (1+{\frac {4}{k}})-4\gamma _{1}\sigma ^{3}\mu -6\mu ^{2}\sigma ^{2}-\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}-3}

Momentum-generáló függvény

Számos kifejezés ismert a X momentum-generáló függvényre: sorozatként:

E [ e t X ] = ∑ n = 0 ∞ t n λ n n ! Γ ( 1 + n k ) . {\displaystyle E\left[e^{tX}\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).}

Integrálként:

E [ e t X ] = ∫ 0 ∞ e t x k λ ( x λ ) k − 1 e − ( x / λ ) k d x . {\displaystyle E\left[e^{tX}\right]=\int _{0}^{\infty }e^{tx}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,dx.}

Ha k racionális szám, k = p/q, ahol p és q egész, akkor ezt az integrál analitikus módon kiértékelhető.[3] Ha t–t helyettesítjük t-vel, akkor:

E [ e − t X ] = 1 λ k t k p k q / p ( 2 π ) q + p − 2 G p , q q , p ( 1 − k p , 2 − k p , … , p − k p 0 q , 1 q , … , q − 1 q | p p ( q λ k t k ) q ) {\displaystyle E\left[e^{-tX}\right]={\frac {1}{\lambda ^{k}\,t^{k}}}\,{\frac {p^{k}\,{\sqrt {q/p}}}{({\sqrt {2\pi }})^{q+p-2}}}\,G_{p,q}^{\,q,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {1-k}{p}},{\frac {2-k}{p}},\dots ,{\frac {p-k}{p}}\\{\frac {0}{q}},{\frac {1}{q}},\dots ,{\frac {q-1}{q}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {p^{p}}{\left(q\,\lambda ^{k}\,t^{k}\right)^{q}}}\right)}

ahol G a Meijer G-függvény. A karakterisztikus függvény is kiszámítható Muraleedharan és társai által kidolgozott módon.[4]

Az információ entrópiája

Az információ entrópiája (Shannon-entrópiafüggvény):

H = γ ( 1 − 1 k ) + ln ⁡ ( λ k ) + 1 {\displaystyle H=\gamma \left(1\!-\!{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1}

ahol γ {\displaystyle \gamma } az Euler–Mascheroni állandó.

Weibull-plot

A Weibull-eloszlást vizuálisan a Weibull-plot jelenítheti meg.[5] A Weibull-plot a tapasztalati kumulatív eloszlásfüggvény megjelenítése. Egy Q-Q plot-ban speciális tengelyeket használva az F ^ ( x ) {\displaystyle {\hat {F}}(x)} adat ábrázolható. A tengelyek ln ⁡ ( − ln ⁡ ( 1 − F ^ ( x ) ) ) {\displaystyle \ln(-\ln(1-{\hat {F}}(x)))} és ln ⁡ ( x ) {\displaystyle \ln(x)} . A változók megváltozástatásának az oka a kumulatív eloszlásfüggvény linearizálása:

F ( x ) = 1 − e − ( x / λ ) k − ln ⁡ ( 1 − F ( x ) ) = ( x / λ ) k ln ⁡ ( − ln ⁡ ( 1 − F ( x ) ) ) ⏟ 'y' = k ln ⁡ x ⏟ 'mx' − k ln ⁡ λ ⏟ 'c' {\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\\-\ln(1-F(x))&=(x/\lambda )^{k}\\\underbrace {\ln(-\ln(1-F(x)))} _{\textrm {'y'}}&=\underbrace {k\ln x} _{\textrm {'mx'}}-\underbrace {k\ln \lambda } _{\textrm {'c'}}\end{aligned}}}

Ha az adat a Weibull-eloszlásból származik, akkor a Weibull-plotban egy közel egyenes vonal várható. Számos megközelítés létezik arra, amikor a tapasztalati eloszlásfüggvény generálása történik. Az egyik módszer, amikor minden egyes pont függőleges koordinátája a következő összefüggésből származik: F ^ = i − 0.3 n + 0.4 {\displaystyle {\hat {F}}={\frac {i-0.3}{n+0.4}}} ahol i {\displaystyle i} az adat rangsora és n {\displaystyle n} az adatpontok száma.[6] A Weibull-eloszlás paramétereinek kiértékeléséhez a lineáris regresszió módszere is alkalmazható. A gradiens a k {\displaystyle k} alak paraméterről ad információt közvetlenül, és a λ {\displaystyle \lambda } paraméterre is lehet következtetni.

Alkalmazás

A Weibull-eloszlást a következő területeken alkalmazzák:

  • Túlélés-analízis[7]
  • Hibananalizis
  • Megbízhatósági számítások
  • Ipari termelésnél (szállítási idők stb.)
  • Időjárás-előrejelzés (szélsebesség-eloszlás)[8]
  • Extrémérték-elmélet
  • Kommunikációban (radar képek kiértékelésénél, mobil kommunikációban a csatornák áthallás vizsgálatánál)
  • Általános (nem élet-) biztosításoknál
  • Technológiaváltozásoknál
  • Hidrológiában (egynapos esők maximális mennyisége, folyó áradások becslése)
  • Granulált részecskék méretének becslésénél

Kapcsolódó eloszlások

A kiegészített Weibull-eloszlás egy járulékos paramétert tartalmaz.[2]

Ennek a valószínűség-sűrűségfüggvénye:

f ( x ; k , λ , θ ) = k λ ( x − θ λ ) k − 1 e − ( x − θ λ ) k {\displaystyle f(x;k,\lambda ,\theta )={k \over \lambda }\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-({x-\theta \over \lambda })^{k}}\,}

x ≥ θ {\displaystyle x\geq \theta } és f(x; k, λ, θ) = 0 x < θ-re, ahol k > 0 {\displaystyle k>0} is az alakparaméter, λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} a skálaparameter és a θ {\displaystyle \theta } a helyparaméter. Ha θ=0, akkor ez 2 paraméteres eloszlásra redukálja az eloszlást.

A Weibull-eloszlás úgy is jellemezhető, mint egy X valószínűségi változó eloszlása:

Y = ( X λ ) k {\displaystyle Y=\left({\frac {X}{\lambda }}\right)^{k}}

mely az exponenciális eloszlás 1 intenzitással.[2]

A Weibull-eloszlás egy interpoláció az exponenciális eloszlás (1/λ intenzitással, ha k = 1) és a Rayleigh-eloszlás között, amikor a Rayleigh eloszlásnál σ = λ / 2 {\displaystyle \sigma =\lambda /{\sqrt {2}}} ha k = 2. A Weibull-eloszlás jellemezhető az állandó eloszlással is. Ha X eloszlása állandó (0,1),tartományban, akkor a valószínűségi változó λ ( − ln ⁡ ( X ) ) 1 / k {\displaystyle \lambda (-\ln(X))^{1/k}\,} Weibull-eloszlású k és λ paraméterekkel. Ez egy egyszerűen implementálható numerikus sémát ad a Weibull-eloszlás szimulációjára.

A Weibull-eloszlás a három paraméteres hatványozott Weibull-eloszlás egy speciális esete, ahol a járulékos kitevő =1. A hatványozott Weibull-eloszláshoz tartozik az „unimodális fürdőkádgörbe” és a monoton hiba ráta.[9]

A Weibull-eloszlás az általánosított extrémérték-eloszlás egy speciális esete. Ebben a kapcsolatban azonosította először Maurice Fréchet 1927-ben a Weibull-eloszlást. Az ezzel szoros kapcsolatban lévő Fréchet-eloszlás (Fréchet-ről elnevezve), a következő valószínűség sűrűség eloszlással rendelkezik:

f F r e c h e t ( x ; k , λ ) = k λ ( x λ ) − 1 − k e − ( x / λ ) − k = ∗ f W e i b u l l ( x ; − k , λ ) . {\displaystyle f_{\rm {Frechet}}(x;k,\lambda )={\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{-1-k}e^{-(x/\lambda )^{-k}}=*f_{\rm {Weibull}}(x;-k,\lambda ).}

A Weibull-eloszlást a 3 paraméteres hatványozott Weibull-eloszlásra is lehet általánosítani. Ez az az eset, amikor a meghibásodási ráta több tényezőtől függ, és időnként nő, máskor meg csökken (lásd: fürdőkádgörbe). Azt az eloszlást, melyet minimálisan több valószínűségi változó határoz meg, és mindegyiknek különböző Weibull-eloszlása van, azt poli-Weibull-eloszlásnak hívják.

Irodalom

  • Obádovics J. Gyula: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika. (hely nélkül): Scolar Kft. 2009. 334. o. ISBN 9789632440675  
  • Fréchet, Maurice: Sur la loi de probabilité de l'écart maximum. (hely nélkül): Annales de la Société Polonaise de Mathematique. 1927. 93–116. o.  
  • Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N: Continuous univariate distributions. Vol. 1, Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics (2nd ed.). (hely nélkül): New York: John Wiley & Sons. 1994. ISBN 978-0-471-58495-7  
  • Weibull, Waloddi: A statistical distribution function of wide applicability. (hely nélkül): J. Appl. Mech.-Trans. ASME 18 (3). 1951. 293–297. o.  

Kapcsolódó szócikkek

Források

  1. ↑ Papoulis, Pillai, "Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 4th Edition
  2. ↑ a b c Johnson, Kotz & Balakrishnan 1994
  3. ↑ See (Cheng, Tellambura & Beaulieu 2004) for the case when k is an integer, and (Sagias & Karagiannidis 2005) for the rational case.
  4. ↑ http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0378383907000452
  5. ↑ The Weibull plot
  6. ↑ Wayne Nelson (2004) Applied Life Data Analysis. Wiley-Blackwell ISBN 0471644625
  7. ↑ Survival/Failure Time Analysis. [2012. január 5-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2011. december 24.)
  8. ↑ http://www.reuk.co.uk/Wind-Speed-Distribution-Weibull.htm Wind Speed Distribution Weibull
  9. ↑ System evolution and reliability of systems. Sysev (Belgium), 2010. január 1.
  • Adatok
  • A Weibull-eloszlás
  • Egy PDF-fájl
  • Matematika Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap