Variogram

A variogram a geostatisztika kulcsfontosságú fogalma, mivel ezzel a függvénnyel illeszthető a területi korreláció valamilyen modellje a megfigyelt adatokhoz. A geostatisztikában a megfigyelések, mérések térbeli vagy időbeli összefüggéseinek leírására három alapvető függvényt használnak a korrelogramot a kovarianciát és a variogramot.

Meg kell különböztetni a tapasztalati variogramot, ez a területi korreláció vizualizációjára szolgál, és a variogram modellt amelyet a krigelésnél mint súlyozást használunk. A tapasztalati variogram egy normális eloszlás kovarianciájának kísérleti becslése.

Definíciók

A variogram egy statisztikai függvény második momentuma, amit a geo- és térstatisztikában a térbeli korrelációk vizsgálatára használnak.

Egy térbeli változó Z ( x ) {\displaystyle Z(x)} , mint sztochasztikus folyamat variogramja (illetve a félvariogramja) 2 γ ( x , x + h ) {\displaystyle 2\gamma (x,x+h)} a h {\displaystyle \mathbf {h} } vektor mentén két x {\displaystyle x} és x + h {\displaystyle x+h} , pontban mint a „változók értékeinek különbségének a szórásnégyzete” határozható meg.

γ ( x , x + h ) = 1 2 var [ Z ( x ) − Z ( x + h ) ] = 1 2 E [ | ( Z ( x ) − μ ( x ) ) − ( Z ( x + h ) − μ ( x + h ) ) | 2 ] . {\displaystyle \gamma (x,x+h)={\frac {1}{2}}{\text{var}}[Z(x)-Z(x+h)]={\frac {1}{2}}E\left[|(Z(x)-\mu (x))-(Z(x+h)-\mu (x+h))|^{2}\right].}

Ha elfogadjuk azt a hipotézist, hogy Z ( x ) {\displaystyle Z(x)} gyöngén stacionárius, a diszperzió és az átlagnövekmény Z ( x + h ) − Z ( x ) {\displaystyle Z(x+h)-Z(x)} létezik és független az x {\displaystyle x} pontok elhelyezkedésétől

γ ( x , x + h ) = 1 2 E [ ( Z ( x ) − ( Z ( x + h ) ) 2 ] = γ ( h ) . {\displaystyle \gamma (x,x+h)={\frac {1}{2}}E\left[(Z(x)-(Z(x+h))^{2}\right]=\gamma (h).}
E [ Z ( x ) − Z ( x + h ) ] = 0 {\displaystyle E\left[Z(x)-Z(x+h)\right]=0}

Ha a függvény elér egy tetőt az árulkodik egy térbeli heterogenitás félvariogramjának a szórásáról, azaz van-e véges szórás vagy nincs. Ha elérik a tetőt, akkor van véges szórás. Ezeket a variogram modelleket nevezzük sill variogramoknak.

Röghatás modell

A röghatás modell annak az esetnek felel meg amikor nincs korreláció a különböző mérési helyeknek megfelelő valószínűségi változók között.

γ ( h ) = 0 {\displaystyle \gamma (h)=0} , ha h = 0 {\displaystyle h=0}
γ ( h ) = C {\displaystyle \gamma (h)=C} , ha h > 0 {\displaystyle h>0}

Szferikus modell

Egy olyan variogram modell, amely szigorúan monoton növekvő felszálló ággal rendelkezik, aztán gyorsan beáll a hatástávolság vízszintes vonalára. A sill két részből áll, egyrészt a röghatásból, másrészt a röghatás és a C érték közötti részből.

γ ( h ) = C ( 3 / 2 ∗ h / a − 1 / 2 ∗ h 3 / a 3 ) {\displaystyle \gamma (h)=C(3/2*h/a-1/2*h^{3}/a^{3})} , ha h <= a {\displaystyle h<=a}
γ ( h ) = C {\displaystyle \gamma (h)=C} , ha h > a {\displaystyle h>a}

Exponenciális modell

Ez a leggyakrabban használt variogram. Két paraméterrel írható le: a hatástávolsággal és a sill-lel. A hatástávolság a {\displaystyle a} , az a távolság, amely elválasztja a korrelált és korrelálatlan valószínűségi változókat. Ez a modell aszimptotikusan simul a tetőértékhez.

γ ( h ) = C ( 1 − e − h / a ) {\displaystyle \gamma (h)=C(1-e^{-h/a})}

Gaussi modell

Ez a variogram szintén két paraméterrel írható le. A sill: C {\displaystyle C} ismét egyenlő C ( 0 ) {\displaystyle C(0)} -al a valószínűségi változó szórásnégyzetével. Az a paraméter szintén a hatástávolságot határozza meg. A valós hatástávolság: 3 a {\displaystyle {\sqrt {3}}a}

γ ( h ) = C ( 1 − e − h 2 / a 2 ) {\displaystyle \gamma (h)=C(1-e^{-h^{2}/a^{2}})}

Tapasztalati variogram

V ( u ) = E [ 1 / 2 ( x i − x ( i − u ) ) 2 ] {\displaystyle V(u)=E\left[1/2(x_{i}-x_{(i-u)})^{2}\right]}

egy kedvező alternatívája az autokovariancia függvénynek különösen abban az esetben, ha ha a megfigyelésekre irreguláris időpontokban került sor.

A tapasztalati variogram azoknak a véges számú mérési pontoknak n i {\displaystyle n_{i}} a halmaza

( u i j k , v i j k ) : k > j : i = 1 , . . . , m {\displaystyle (u_{ijk},v_{ijk}):k>j:i=1,...,m} ahol
u i j k = | t i j − t i k | {\displaystyle u_{ijk}=|t_{ij}-t_{ik}|} és v i j k = 1 / 2 ( y i j − y i k ) 2 ; t i j , i = 1 , . . . , n i {\displaystyle v_{ijk}=1/2(y_{ij}-y_{ik})^{2};t_{ij},i=1,...,n_{i}}
az n i {\displaystyle n_{i}} az az érték amit az i {\displaystyle i} -ik megfigyelés során kaptunk y ( i j ) {\displaystyle y_{(}ij)} -től kezdve.

Az ( u i j k , v i j k ) {\displaystyle (u_{ijk},v_{ijk})} pontokat ábrázoló kétdimenziós diagramot variogram felhőnek nevezik. ennek segítségével megjósolható a V ( u ) {\displaystyle V(u)} parametrikus modell.

Egy tapasztalati variogram nagyon érzékeny a szélsőséges értékekre, ebből következik, hogy jó minőségű becsléshez több vektorra van szükség. Általában az elfogadható becsléshez 30 vagy annál több párra van szükség.

Források

  • Bárdossy, András. Introduction to Geostatistics (angol nyelven). Stuttgart: Institute of Hydraulic Engineering University of Stuttgart 
  • Clark, Isobel: Practical Geostatistics,. Applied Science Publishers, 1979. (Hozzáférés: 2013. május 19.)
  • A geostatisztika tárgya, feladata. Science Caffe. [2012. június 6-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2013. május 17.)
  • Демьянов, В.. Геостатистика: теория и практика [archivált változat] (orosz nyelven). Moszkva: Наука [2010]. Hozzáférés ideje: 2013. május 19. [archiválás ideje: 2014. december 27.]