Méretkorlátozási axióma

Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye.

A méretkorlátozási axióma vagy Neumann-axióma az osztályrealista halmazelméletek jellegzetes axiómája. Legáltalánosabb formájában:

Egy osztály akkor és csak akkor valódi osztály, ha ekvivalens bármely valódi osztállyal.

${\displaystyle \forall X\,\forall Y\,((\mathrm {pr} (X)\land \mathrm {pr} (Y))\leftrightarrow (\mathrm {pr} (X)\land X\sim Y))}$

(${\displaystyle \mathrm {pr} (X)}$ azt rövidíti, hogy X valódi osztály; ${\displaystyle X\sim Y}$ pedig azt, hogy X ekvivalens Y-nal, vagyis létezik közöttük bijekció.)

Következmények

A méretkorlátozási axióma nagyon erős állítás. A Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet többi axiómájának jelenlétében következik belőle többek között:

• a behelyettesítési axióma (más néven a pótlás axiómája);
• a globális kiválasztási axióma;
• az unió-axióma.

Másfelől a többi NBG-axióma jelenlétében a behelyettesítési axióma és a globális kiválasztási axióma maga után vonja a méretkorlátozási axiómát.

Változatok

Az axiómát gyakran az alábbi egyszerűbb alakban idézik:

Egy osztály akkor és csak akkor valódi osztály, ha ekvivalens az univerzális osztállyal.

${\displaystyle \forall X\,(\mathrm {pr} (X)\leftrightarrow X\sim \mathrm {V} ))}$

(ahol ${\displaystyle \mathrm {V} }$ az univerzális osztály).

Ez a változat csak akkor ekvivalens az előző szakaszban megadottal, ha más axiómákból bizonyítható, hogy az univerzális osztály valódi osztály (lásd: Cantor-paradoxon).