Gyűrű (matematika)

Az algebrában a két kétváltozós művelettel rendelkező ${\displaystyle R}$ struktúrákat gyűrűnek nevezünk – jelölésben: ${\displaystyle (R;+,\cdot )}$ –, ha

• ${\displaystyle (R;+)\,\!}$ Abel-csoport,
• ${\displaystyle (R;\cdot )}$ félcsoport és
• a tetszőleges ${\displaystyle a,b,c\in R}$ elemekre fennállnak a következő disztributivitási szabályok:

${\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)}$, és

${\displaystyle (b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)}$.

A + jellel jelölt műveletre általában összeadásként, a ${\displaystyle \cdot }$ jellel jelölt műveletre pedig szorzásként hivatkozunk, ez azonban nem jelenti azt, hogy a gyűrű elemei számok, illetve hogy ezek a műveletek csak a szokásos, számokon értelmezett összeadás és szorzás műveletek lehetnének, hiszen ezt a fenti definícióban nem követeltük meg. Szokás ezért a gyűrű Abel-csoportját additív csoportnak, a félcsoportját pedig multiplikatív csoportnak is nevezni. Általában nem írjuk ki a szorzópontot, tehát ${\displaystyle a\cdot b}$ helyett ${\displaystyle ab}$ szerepel.

Ha ${\displaystyle (R;\cdot )}$ kommutatív, akkor kommutatív gyűrűről beszélünk, ha pedig ${\displaystyle (R;\cdot )}$ egységelemes, egységelemes gyűrűről.

Ha nullától különböző elemek szorzata ismét nullától különböző, akkor zérusosztómentes gyűrűről beszélünk. A kommutatív, zérusosztómentes, egységelemes gyűrűket integritástartományoknak nevezzük.

Példák

• Az egész számok halmaza az összeadás és szorzás műveletekkel egységelemes, kommutatív gyűrűt alkot.
• Az n×n-es mátrixok, ha ${\displaystyle n>1}$, egységelemes, de nem kommutatív gyűrűt alkotnak.
• Bármely gyűrű, melyben érvényes az xⁿ=x azonosság az összes n>1 egész kitevőre, Nathan Jacobson egy eredménye szerint kommutatív.^[1]

Részgyűrű, ideál

Egy ${\displaystyle R}$ gyűrű tartóhalmazának egy részhalmazát ${\displaystyle R}$ egy részgyűrűjének hívjuk, ha az adott részhalmaz is gyűrűt alkot az ${\displaystyle R}$-beli összeadás és szorzás megszorítására. Ellenőrzésként a legfontosabb, hogy az adott művelet ne vezessen ki a gyűrűből.

Egy ${\displaystyle R}$ gyűrű tartóhalmazának egy ${\displaystyle I}$ részhalmazát ${\displaystyle R}$ egy balideáljának nevezzük, ha bármely két ${\displaystyle I}$-beli elem különbsége (azaz az összeadás inverzét elvégezve) is ${\displaystyle I}$-beli, valamint egy tetszőleges ${\displaystyle R}$ elem megszorozva egy tetszőleges ${\displaystyle I}$-beli elemmel balról, az eredmény szintén ${\displaystyle I}$-ben lesz. Röviden kifejezve komplexusműveletekkel: ${\displaystyle I-I\subseteq I}$ és ${\displaystyle RI\subseteq I}$. Egy részhalmazt jobbideálnak nevezünk, ha a szorzás azonossága jobbról igaz, azaz ${\displaystyle IR\subseteq I}$. Amennyiben egy részhalmaz bal- és jobbideál egyszerre, akkor ideálnak nevezzük. Kommutatív gyűrűben nyilván minden bal- és jobbideál egyben ideál is, hiszen a szorzás ekkor felcserélhető. Az ideáloknak fontos szerepük van testbővítéseknél, ekkor egy irreducibilis polinom által generált ideál szerinti faktorgyűrűt vizsgálunk, ami test lesz, hiszen a szóban forgó ideál maximális. (Ezek viszonylag egyszerűen következnek a definíciókból).

Példák részgyűrűkre és ideálokra

Az egész számok körében a páros számok részgyűrűt alkotnak, hiszen bármely két páros szám összege és szorzata is páros. Ezzel szemben a páratlan számok nem alkotnak részgyűrűt, hiszen két páratlan szám összege már páros, azaz az összeadás már kivezet a páratlan számok köréből.

Az egész számok körében egy adott szám többszörösei ideált alkotnak. Tekintsük például a 8 többszöröseit, ekkor az ideálban lesznek -24, -16, -8, 0, 8, 16, 24 stb. Nyilván két ilyen szám különbsége is 8-nak a többszöröse, tehát eleme az ideálnak, valamint akármelyik egész számot szorozva 8-cal, 8-nak ismét egy többszörösét kapjuk, tehát ez is eleme az ideálnak. Természetesen akármelyik másik egész számra végigkövethető ugyanez.

Jegyzetek

További információk

• Alice és Bob - 14. rész: Alice és Bob gyűrűje
• Alice és Bob - 18. rész: Alice és Bob felcsavarja a számegyenest

Források

• Rédei, László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp. (1954)
• Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)