Fresnel-integrál

A Fresnel-integrálok az x → C ( x ) {\displaystyle x\to C(x)} és x → S ( x ) {\displaystyle x\to S(x)} leképezésekkel adott transzcendens valós-valós függvények, ahol

C ( x ) = ∫ 0 x cos ⁡ ( u 2 ) d u , S ( x ) = ∫ 0 x sin ⁡ ( u 2 ) d u . {\displaystyle C(x)=\int \limits _{0}^{x}\cos(u^{2})\,du,\quad S(x)=\int \limits _{0}^{x}\sin(u^{2})\,du.}

C ( x ) {\displaystyle C(x)} illetve S ( x ) {\displaystyle S(x)} az y = cos ⁡ ( x 2 ) {\displaystyle y=\cos(x^{2})} és az y = sin ⁡ ( x 2 ) {\displaystyle y=\sin(x^{2})} függvény területfüggvénye (x=0 kezdő abszcisszától).

Leírásuk

A Fresnel-integrálok nem írhatók fel elemi függvényekkel zárt analitikus alakban. A helyettesítési érték kiszámítására a következő, minden x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } helyen konvergens hatványsorok alkalmasak:

S ( x ) = x 3 3 ⋅ 1 ! − x 7 7 ⋅ 3 ! + x 1 1 11 ⋅ 5 ! ∓ ⋯ + ( − 1 ) n x 4 n + 3 ( 4 n + 3 ) ( 2 n + 1 ) ! , {\displaystyle S(x)={\frac {x^{3}}{3\cdot 1!}}-{\frac {x^{7}}{7\cdot 3!}}+{\frac {x^{1}1}{11\cdot 5!}}\mp \dots +(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}},}
C ( x ) = x 1 ⋅ 0 ! − x 5 7 ⋅ 2 ! + x 9 9 ⋅ 4 ! ∓ ⋯ + ( − 1 ) n x 4 n + 1 ( 4 n + 1 ) ( 2 n ) ! . {\displaystyle C(x)={\frac {x}{1\cdot 0!}}-{\frac {x^{5}}{7\cdot 2!}}+{\frac {x^{9}}{9\cdot 4!}}\mp \dots +(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}}.}

A függvények csökkenő amplitúdóval és hullámhosszal oszcillálnak a + ∞ {\displaystyle +\infty } -ben vett határértékük körül (nem periodikusak!):

∫ 0 ∞ cos ⁡ u 2 d u = ∫ 0 ∞ sin ⁡ u 2 d u = π 8 . {\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }\cos u^{2}\,du=\int \limits _{0}^{\infty }\sin u^{2}\,du={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}.}

A függvénygörbék egy transzponált alakja az elméleti vizsgálatokban használt normalizált alak:

S o ( x ) = ∫ 0 x sin ⁡ ( π u 2 2 ) d u , C o ( x ) = ∫ 0 x cos ⁡ ( π u 2 2 ) d u , {\displaystyle S_{o}(x)=\int \limits _{0}^{x}\sin({\frac {\pi u}{2}}^{2})\,du,\quad C_{o}(x)=\int \limits _{0}^{x}\cos({\frac {\pi u}{2}}^{2})\,du,}

melyek a lim x → + ∞ C o ( x ) = lim x → + ∞ S o ( x ) = 1 2     {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }C_{o}(x)=\lim _{x\to +\infty }S_{o}(x)={\frac {1}{2}}\,~~} érték körül oszcillálnak.

Normalizált Fresnel-integrálok, So(x) és Co(x).

Alkalmazása

A függvényeket Augustin-Jean Fresnel (1788-1827) francia fizikus alkalmazta a fényinterferencia vizsgálatok matematikai elemzésénél. E vizsgálatok a fénynek Christiaan Huygens (1629-1695) holland fizikus által kidolgozott hullámtermészetét igazolták. Vele egy időben és tőle függetlenül hasonló sikeres kísérleteket végzett Thomas Young (1773-1829) angol orvos.

Az út-/vasútépítésben fontos átmeneti ív, a klotoid (Cornu-spirál, Euler-spirál) paraméteres egyenletrendszerét a két Fresnel-integrál megfelelő transzformációjával lehet megadni:

{ x ( t ) = k ⋅ C ( t ) y ( t ) = k ⋅ S ( t ) {\displaystyle {\begin{cases}x(t)=k\cdot C(t)\\y(t)=k\cdot S(t)\end{cases}}}

Irodalom

Reinhardt–Soeder: SH atlasz-Matematika (Springer-Verlag, 1993)
Szász Pál: A differenciál- és integrálszámítás elemei (Közoktatásügyi Kiadóvállalat, 1951)
Bronstein–Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091
Pattantyús: Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.