Régularisation de Hadamard

En mathématiques, la régularisation de Hadamard (également appelée partie finie de Hadamard) est une méthode de régularisation d'intégrales divergentes en supprimant certains termes divergents et en conservant la partie finie, introduite par Hadamard, livre III, chapitre I. Riesz a montré que cela peut être interprété comme prenant le prolongement méromorphe d'une intégrale convergente.

Si l'intégrale de la valeur principale de Cauchy

C ∫ a b f ( t ) t − x d t ( pour  a < x < b ) {\displaystyle {\mathcal {C}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{t-x}}\,\mathrm {d} t\quad ({\text{pour }}a<x<b)}
existe, alors elle peut être dérivée par rapport à x pour obtenir l'intégrale de la partie finie de Hadamard comme suit :
d d x ( C ∫ a b f ( t ) t − x d t ) = H ∫ a b f ( t ) ( t − x ) 2 d t (  pour  a < x < b ) . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\mathcal {C}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{t-x}}\,\mathrm {d} t\right)={\mathcal {H}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,\mathrm {d} t\quad ({\text{ pour }}a<x<b).}
On note que les symboles C {\displaystyle {\mathcal {C}}} et H {\displaystyle {\mathcal {H}}} sont utilisés ici pour désigner respectivement la valeur principale de Cauchy et les intégrales de partie finie de Hadamard.

L'intégrale de la partie finie de Hadamard ci-dessus (pour a < x < b ) peut également être donnée par les définitions équivalentes suivantes :

H ∫ a b f ( t ) ( t − x ) 2 d t = lim ε → 0 + { ∫ a x − ε f ( t ) ( t − x ) 2 d t + ∫ x + ε b f ( t ) ( t − x ) 2 d t − f ( x + ε ) + f ( x − ε ) ε } , {\displaystyle {\mathcal {H}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,\mathrm {d} t=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left\{\int _{a}^{x-\varepsilon }{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,\mathrm {d} t+\int _{x+\varepsilon }^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,\mathrm {d} t-{\frac {f(x+\varepsilon )+f(x-\varepsilon )}{\varepsilon }}\right\},}
H ∫ a b f ( t ) ( t − x ) 2 d t = lim ε → 0 + { ∫ a b ( t − x ) 2 f ( t ) ( ( t − x ) 2 + ε 2 ) 2 d t − π f ( x ) 2 ε − f ( x ) 2 ( 1 b − x − 1 a − x ) } . {\displaystyle {\mathcal {H}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,\mathrm {d} t=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left\{\int _{a}^{b}{\frac {(t-x)^{2}f(t)}{((t-x)^{2}+\varepsilon ^{2})^{2}}}\,\mathrm {d} t-{\frac {\pi f(x)}{2\varepsilon }}-{\frac {f(x)}{2}}\left({\frac {1}{b-x}}-{\frac {1}{a-x}}\right)\right\}.}
Les définitions ci-dessus peuvent être dérivées en supposant que la fonction f (t) est infiniment dérivable en t = x pour a < x < b, c'est-à-dire en supposant que f (t) peut être représenté par sa série de Taylor autour de t = x . Pour plus de détails, voir Ang. (Il faut remarquer que le terme − f (x)/2(1/b − x − 1/a − x) dans la deuxième définition manque mais est corrigée dans l'erratum du livre).

Les équations intégrales contenant des intégrales de partie finie de Hadamard (avec f (t) inconnue) sont appelées équations intégrales hypersingulières. Les équations intégrales hypersingulières apparaissent dans la formulation de nombreux problèmes de mécanique, comme dans l'analyse des fractures.

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hadamard regularization » (voir la liste des auteurs).
  • Whye-Teong Ang, Hypersingular Integral Equations in Fracture Analysis, Oxford, Woodhead Publishing, , 19–24 p. (ISBN 978-0-85709-479-7, lire en ligne).
  • Whye-Teong Ang, Errata Sheet for Hypersingular Integral Equations in Fracture Analysis (lire en ligne).
  • Luc Blanchet et Guillaume Faye, « Hadamard regularization », Journal of Mathematical Physics, vol. 41, no 11,‎ , p. 7675–7714 (ISSN 0022-2488, DOI 10.1063/1.1308506, Bibcode 2000JMP....41.7675B, MR 1788597, zbMATH 0986.46024, arXiv gr-qc/0004008).
  • Jacques Hadamard, Lectures on Cauchy's problem in linear partial differential equations, Dover Publications, New York, coll. « Dover Phoenix editions », , 316 p. (ISBN 978-0-486-49549-1, MR 0051411, zbMATH 0049.34805, JFM 49.0725.04, lire en ligne).
  • J. Hadamard, Le problème de Cauchy et les équations aux dérivées partielles linéaires hyperboliques, Paris, Hermann & Cie., , 542 p. (zbMATH 0006.20501).
  • Marcel Riesz, « Intégrales de Riemann-Liouville et potentiels. », Acta Litt. Ac Sient. Univ. Hung. Francisco-Josephinae, Sec. Sci. Math. (Szeged), vol. 9, nos 1–1,‎ , p. 1–42 (zbMATH 0018.40704, JFM 64.0476.03, lire en ligne [archive du ], consulté le ).
  • Marcel Riesz, « Rectification au travail "Intégrales de Riemann-Liouville et potentiels" », Acta Litt. Ac Sient. Univ. Hung. Francisco-Josephinae, Sec. Sci. Math. (Szeged), vol. 9, nos 2–2,‎ , p. 116–118 (zbMATH 0020.36402, JFM 65.1272.03, lire en ligne [archive du ], consulté le ).
  • Marcel Riesz, « L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy », Acta Mathematica, vol. 81,‎ , p. 1–223 (ISSN 0001-5962, DOI 10.1007/BF02395016 Accès libre, MR 0030102, zbMATH 0033.27601)
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