Problème de Napoléon

En géométrie plane, le problème de Napoléon consiste à construire au compas seul le centre d'un cercle donné. On attribue souvent ce problème et sa démonstration à Napoléon I^er, mais il n'est pas sûr que cette démonstration soit de lui. Certes, il est connu pour son goût pour les mathématiques et sa formation d'artilleur lui permet d'en maîtriser les rouages. Cependant, à la même époque, l'Italien Lorenzo Mascheroni publie sa Géométrie du compas, ouvrage dans lequel il étudie justement les constructions au compas seul. Mais au livre dixième, chapitré « des centres », seul le problème 143, qui explique et démontre comment trouver le centre d'un cercle donné, traite la question, et ce de façon très différente de celle dite de Napoléon exposée ici.

Construction

Soit le cercle ${\mathcal {C}}$ dont on veut déterminer le centre (cercle entier noir sur la figure 1). Soit un point A de ce cercle ${\mathcal {C}}$ (en bas du cercle noir sur la figure 1).

Un cercle ${\mathcal {C}}_{1}$ centré en A rencontre ce cercle ${\mathcal {C}}$ en B et B' (arc de cercle en rouge sur la figure 1).

Deux cercles ${\mathcal {C}}_{2}$ centrés en B et B' et passant par A se rencontrent au point C (deux arcs de cercles verticaux en vert sur la figure 1).

Un cercle ${\mathcal {C}}_{3}$ centré sur C et passant par A rencontre ${\mathcal {C}}_{1}$ en D et D' (grand arc de cercle en magenta foncé en bas de la figure 1).

Deux cercles ${\mathcal {C}}_{4}$ centrés en D et D' et passant par A se rencontrent en X dont il faut démontrer qu'il coïncide avec O le centre du cercle ${\mathcal {C}}$ noir donné (deux arcs de cercle verticaux en bleu sur la figure 1).

Remarque : Il est nécessaire, pour que la construction soit réalisable, de prendre pour le rayon du cercle ${\mathcal {C}}_{1}$ , une quantité ni trop grande, ni trop petite. Plus précisément, il faut^[1] que ce rayon soit compris entre la moitié et le double du rayon du cercle ${\mathcal {C}}$ .

Démonstrations

À l'aide des propriétés du triangle rectangle

Figure 2 : construction de ${\frac {b^{2}}{a}}$

{\displaystyle {\frac {b^{2}}{a}}} — Figure 2 : construction de ${\frac {b^{2}}{a}}$

Le principe de la démonstration est la possibilité de construire, au compas seul, la longueur $b^{2}/a$ si les longueurs $a$ et $b$ sont connues en construisant la diagonale d'un losange de côté $b$ dont 3 des sommets sont sur un cercle de rayon $a$ . La démonstration s'appuie sur les propriétés du triangle rectangle.

Dans la figure 2 ci-jointe, $ABCB'$ est un losange de côté $b$ et $A,\,B,\,B'$ sont situés sur un cercle de rayon $a$ . Le triangle $ABA'$ est rectangle en $B$ ; $H$ est le pied de sa hauteur issue de $B$ , on peut donc écrire l'égalité suivante :

AH\cdot AA'=AB^{2}

Donc :

AH={\frac {b^{2}}{2a}}

AC={\frac {b^{2}}{a}}

Or, dans la construction précédente (figure 1), on retrouve deux fois une configuration de ce type :

les points $A$ , $B$ et $B'$ sont sur le cercle de centre $O$ et de rayon $r$ , les points $A,\,B,\,C,\,B'$ dessinent un losange de côté $R$ , donc, d'après la construction explicitée ci-dessus, la diagonale AC a pour longueur:

AC={\frac {R^{2}}{r}}

les points $A$ , $D$ et $D'$ (voir figure 1) sont sur le cercle de centre $C$ et de rayon ${\frac {R^{2}}{r}}$ , les points $A,\,D,\,X,\,D'$ dessinent un losange de côté $R$ , donc, toujours d'après la construction explicitée ci-dessus, la diagonale AX a pour longueur:

AX={\frac {R^{2}}{R^{2}/r}}=r

Le point $X$ , situé sur l'axe de symétrie $ACO$ de la figure 1 et à une distance $r$ de $A$ , est donc bien le centre $O$ du cercle passant par $A$ , $B$ et $B'$ .

À l'aide d'une inversion

Les médiatrices des segments $AB$ et $AB'$ , dont les extrémités sont des points du cercle ${\mathcal {C}}$ , se coupent en $O$ centre recherché de ce cercle. Dans l'inversion de centre $A$ qui laisse le cercle ${\mathcal {C}}_{1}$ inchangé ces médiatrices sont les inverses des deux cercles^[2] ${\mathcal {C}}_{2}$ . Le point $C$ est donc l'inverse du point $O$ . Les médiatrices des segments $AD$ et $AD'$ , dont les extrémités sont des points du cercle ${\mathcal {C}}_{3}$ , se coupent au centre $C$ de ce cercle. Dans la même inversion, les cercles ${\mathcal {C}}_{4}$ dont les centres sont sur le cercle ${\mathcal {C}}_{1}$ sont les inverses de ces deux médiatrices^[2]. Ils se coupent donc en $O$ .

Notes et références

↑ Pour que le cercle rouge de rayon R coupe le cercle noir de rayon r, il est nécessaire que R < 2r. Pour que le cercle rouge coupe le cercle magenta (de rayon R²/r cf. Démonstrations), il est nécessaire que R < 2 R²/r.
↑ ^{a et b} car dans l'inversion de centre $P$ et de rapport $|PQ|^{2}$ , la médiatrice du segment $PQ$ et le cercle de centre $Q$ passant par $P$ sont inverses l'un de l'autre.