Formule de Grassmann

En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, la formule de Grassmann exprime la dimension de la somme de deux sous-espaces vectoriels d'un même espace vectoriel. Plus précisément :

Formule de Grassmann — Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d'un même espace vectoriel E. Alors

dim ⁡ ( F ) + dim ⁡ ( G ) = dim ⁡ ( F + G ) + dim ⁡ ( F ∩ G ) . {\displaystyle \dim(F)+\dim(G)=\dim(F+G)+\dim(F\cap G).}

Si F et G sont de dimensions respectives finies, il en résulte que F + G aussi et que

dim ⁡ ( F + G ) = dim ⁡ ( F ) + dim ⁡ ( G ) − dim ⁡ ( F ∩ G ) . {\displaystyle \dim(F+G)=\dim(F)+\dim(G)-\dim(F\cap G).}
Deux démonstrations
  • Les applications linéaires suivantes :
    0 → F ∩ G → F × G → F + G → 0 , {\displaystyle 0\to F\cap G\to F\times G\to F+G\to 0,}
    où la deuxième application est x ↦ ( x , x ) {\displaystyle x\mapsto (x,x)} et la troisième ( x , y ) ↦ x − y {\displaystyle (x,y)\mapsto x-y} , forment une suite exacte courte. Par conséquent, d'après le théorème du rang (même en dimension infinie) :
    dim ⁡ ( F ∩ G ) + dim ⁡ ( F + G ) = dim ⁡ ( F × G ) . {\displaystyle \dim(F\cap G)+\dim(F+G)=\dim(F\times G).}
    La formule de Grassmann en résulte puisque dim(F×G) = dim(F) + dim(G).
  • Une autre idée est de remarquer l'analogie de cette formule avec la suivante (valide même pour des ensembles infinis) et de l'en déduire :
    card ( A ) + card ( B ) = card ( A ∪ B ) + card ( A ∩ B ) . {\displaystyle {\text{card}}(A)+{\text{card}}(B)={\text{card}}(A\cup B)+{\text{card}}(A\cap B).}
    Il suffit en effet, pour identifier terme à terme cette équation avec
    dim ⁡ ( F ) + dim ⁡ ( G ) = dim ⁡ ( F + G ) + dim ⁡ ( F ∩ G ) , {\displaystyle \dim(F)+\dim(G)=\dim(F+G)+\dim(F\cap G),}
    de choisir une base C {\displaystyle C} de F ∩ G {\displaystyle F\cap G} et de la compléter en une base A {\displaystyle A} de F {\displaystyle F} d'une part et en une base B {\displaystyle B} de G {\displaystyle G} d'autre part : A ∪ B {\displaystyle A\cup B} sera alors une base de F + G {\displaystyle F+G} et A ∩ B {\displaystyle A\cap B} sera égal à la base C {\displaystyle C} de F ∩ G . {\displaystyle F\cap G.}

Références

  • (en) Michael Artin, Algebra [détail de l’édition], proposition 6.9, p. 103.
  • (en) Serge Lang, Algebra, 1965 [détail des éditions], p. 92, exercice 6.

Article connexe

Deuxième théorème d'isomorphisme

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