Espace localement annelé

Le concept d'espace localement annelé est commun à différents domaines de géométrie, mais est plus utilisé en géométrie algébrique et en géométrie analytique complexe.

Définition

Un espace localement annelé est un espace topologique X muni d'un faisceau d'anneaux commutatifs O_X, appelé faisceau structural, tel qu'en tout point, l'anneau des germes de O_X soit un anneau local.

Si A est un anneau (commutatif unitaire), un espace localement annelé dont le faisceau structural est un faisceau de A-algèbres est appelé un espace localement annelé sur A.

Exemples

les schémas ;
les variétés différentielles, munies de leurs fonctions C^∞ à valeurs dans ℂ ;
les variétés complexes, munies de leurs fonctions holomorphes à valeurs dans ℂ ;
les variétés algébriques.

Un sous-espace ouvert de $X$ est une partie ouverte $U$ munie du faisceau d'anneaux $O_{X}|_{U}$ . Le couple $(U,O_{X}|_{U})$ est un espace localement annelé.

Corps résiduel

Soit $x$ un point de $X$ . Soit $m_{x}$ l'idéal maximal de l'anneau local $O_{X,x}$ . Le quotient $k(x):=O_{X,x}/m_{x}$ est le corps résiduel de $X$ en $x$ . Si $U$ est un voisinage ouvert de $x$ , alors $U$ et $X$ ont le même corps résiduel en $x$ .

Par exemple, Si $X$ est une variété algébrique, alors $x$ appartient à un voisinage ouvert affine $\mathrm {Spm} A$ . Le point $x$ correspond à un idéal maximal $M$ de $A$ , et le corps résiduel $k(x)$ est égal à $A/M$ .

Pour les variétés complexes (resp. différentielles), les corps résiduels sont tous égaux à ℂ (resp. ℝ).

Morphismes

Un morphisme entre deux espaces localement annelés (X, O_X) et (Y, O_Y) est la donnée d'une application continue f : X → Y et d'un morphisme de faisceaux d'anneaux f^# : O_Y → f_*O_X tel que pour tout x ∈ X, le morphisme d'anneaux O_{Y, f(x)} → O_{X, x} induit par f^# soit un morphisme d'anneaux locaux (c'est-à-dire qu'il envoie l'idéal maximal de l'anneau source dans l'idéal maximal de l'anneau but). Quand il n'y a pas d'ambiguïté possible, on note souvent le morphisme $(f,f^{\#})$ par $f$ .

Un exemple trivial de morphisme est l'identité d'un espace dans lui-même. On peut naturellement composer deux morphismes $(X,O_{X})\to (Y,O_{Y})$ , $(Y,O_{Y})\to (Z,O_{Z})$ pour obtenir un morphisme $(X,O_{X})\to (Z,O_{Z})$ . Un isomorphisme est un morphisme $f:(X,O_{X})\to (Y,O_{Y})$ qui admet un morphisme inverse, c'est-à-dire dont la composition (à gauche ou à droite) avec $f$ est égale à l'identité.

Un morphisme (f, f^#) : (X, O_X) → (Y, O_Y) est une immersion si f est une immersion au sens topologique (c'est-à-dire que f induit un homéomorphisme de X sur son image), et si pour tout x ∈ X, le morphisme d'anneaux O_{Y, f(x)} → O_{X, x} est surjectif.

Exemple Soit $x$ un point de $X$ . Alors l'espace topologique $\{x\}$ muni du faisceau constant $k(x)$ est un espace localement annelé, et on a un morphisme $({x},k(x))\to (X,O_{X})$ qui est l'inclusion canonique $\{x\}\to X$ au niveau du point $x$ . C'est une immersion.

Espace tangent

Soit $x$ un point de $X$ . Soit $m_{x}$ l'idéal maximal de l'anneau local $O_{X,x}$ . Alors le quotient $m_{x}/m_{x}^{2}=m_{x}\otimes _{O_{X,x}}k(x)$ est un espace vectoriel sur $k(x)$ . Son dual s'appelle l'espace tangent de Zariski de $X$ en $x$ . C'est surtout en géométrie algébrique qu'on utilise cette approche. Cependant, dans le cas des variétés différentielles et variétés analytiques complexes, cette notion coïncide avec la définition standard.