Coordonnées de Boyer-Lindquist

Les coordonnées de Boyer-Lindquist[N 1] sont un système de coordonnées d'espace-temps utilisées pour écrire la métrique du trou noir de Kerr[2] ou d'un trou noir de Kerr-Newmann[3]. Elles généralisent les coordonnées de Schwarzschild[2],[3] : elles sont singulières à l'horizon des événements du trou noir[4]. Elles minimisent le nombre des composantes hors diagonale de la métrique[5],[6]. Elles sont adaptées aux symétries du trou noir : sa stationarité et sa symétrie axiale[7].

Présentation

La notation usuelle des coordonnées est (t, r, θ, ϕ)[2],[8] ou (ct, r, θ, ϕ)[9],[10] avec[11] :

  • t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } ,
  • r ∈ R {\displaystyle r\in \mathbb {R} } ,
  • θ ∈ ( 0 , π ) {\displaystyle \theta \in \left(0,\pi \right)} ,
  • ϕ ∈ ( 0 , 2 π ) {\displaystyle \phi \in \left(0,2\pi \right)} .

La métrique de Kerr admet deux champs de vecteurs de Killing, notés ξ {\displaystyle \xi } et η {\displaystyle \eta } et respectivement associés à la stationnarité et à la symétrie axiale[12]. Les coordonnées de Boyer-Lindquist sont construites de sorte que les composantes ξ μ {\displaystyle \xi ^{\mu }} et η μ {\displaystyle \eta ^{\mu }} de ξ {\displaystyle \xi } et η {\displaystyle \eta } soient ξ μ = ( 1 , 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle \xi ^{\mu }=\left(1,0,0,0\right)} et η μ = ( 0 , 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle \eta ^{\mu }=\left(0,0,0,1\right)} [13].

Le changement de coordonnées des coordonnées de Boyer-Lindquist (r, θ, ϕ) vers les coordonnées cartésiennes (x, y, z), est donné par[14],[15] :

x = √r2 + a2 sin θ cos ϕ,
y = √r2 + a2 sin θ sin ϕ,
z = r cos θ,

où a est le rapport entre le moment angulaire et la masse : a = J/M (voir trou noir de Kerr pour plus de détails).

Les coordonnées de Boyer-Linquist sont adaptées à un feuilletage 3 + 1 — dit feuilletage de Boyer-Linquist[N 2] — d'un espace-temps axisymétrique. Elles permettent d'exprimer la métrique sous la forme[18] :

d s 2 = ( β 2 − α 2 ) d t 2 + 2 β ϕ d ϕ d t + γ r r d r 2 + γ θ θ d θ 2 + γ ϕ ϕ d ϕ 2 {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\left(\beta ^{2}-\alpha ^{2}\right)\mathrm {d} t^{2}+2\beta _{\phi }\mathrm {d} \phi \mathrm {d} t+\gamma _{rr}\mathrm {d} r^{2}+\gamma _{\theta \theta }\mathrm {d} \theta ^{2}+\gamma _{\phi \phi }\mathrm {d} \phi ^{2}} .

La représentation matricielle des coefficients de la métrique est ainsi[18] :

g μ ν = ( β 2 − α 2 0 0 β ϕ 0 γ r r 0 0 0 0 γ θ θ 0 β ϕ 0 0 γ ϕ ϕ ) {\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}\beta ^{2}-\alpha ^{2}&0&0&\beta _{\phi }\\0&\gamma _{rr}&0&0\\0&0&\gamma _{\theta \theta }&0\\\beta _{\phi }&0&0&\gamma _{\phi \phi }\end{pmatrix}}}

α {\displaystyle \alpha } est la fonction lapse[19]. β {\displaystyle \beta } est le vecteur shift[19].

Dans l'expression d'une métrique en coordonnées de Boyer-Lindquist, on trouve un paramètre et des fonctions.

a {\displaystyle a} est le paramètre de Kerr[20]. Il est défini par a = J M c {\displaystyle a={\frac {J}{Mc}}} [21],[22] où M {\displaystyle M} est la masse et J {\displaystyle J} est le moment cinétique[20] ; et est homogène à une longueur[20].

Deux principales fonctions

ρ 2 {\displaystyle \rho ^{2}} et Δ {\displaystyle \Delta } sont deux fonctions qui apparaissent dans l'expression d'une métrique en coordonnées de Boyer-Lindquist. Par construction de celles-ci, la métrique est singulière pour ρ = 0 {\displaystyle \rho =0} ou Δ = 0 {\displaystyle \Delta =0} [2],[9].

ρ 2 {\displaystyle \rho ^{2}} est une fonction des deux coordonnées r {\displaystyle r} et θ {\displaystyle \theta }  : ρ 2 ⁡ ( r , θ ) {\displaystyle \operatorname {\rho ^{2}} (r,\theta )} [23],[24],[25]. Elle est donnée par : ρ 2 = r 2 + a 2 cos 2 ⁡ θ {\displaystyle \rho ^{2}=r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta } , tant pour la métrique de Kerr[26],[27] que pour celle de Kerr-Newman[28],[29]. Elle est définie de sorte que les composantes g r r {\displaystyle g_{rr}} et g θ θ {\displaystyle g_{\theta \theta }} s'annulent pour ρ = 0 {\displaystyle \rho =0} [30]. C'est le cas pour ( r , θ ) = ( 0 , π 2 ) {\displaystyle \left(r,\theta \right)=\left(0,{\frac {\pi }{2}}\right)} [2].

Δ {\displaystyle \Delta } est une fonction de la coordonnée r {\displaystyle r}  : Δ ⁡ ( r ) {\displaystyle \operatorname {\Delta } (r)} [23],[24],[31]. Elle est définie de sorte que la composante g r r {\displaystyle g_{rr}} devienne singulière pour Δ = 0 {\displaystyle \Delta =0} [30]. C'est le cas pour r = r + {\displaystyle r=r_{+}} et r = r − {\displaystyle r=r_{-}} [2]. Les surfaces de coordonnées r ± {\displaystyle r_{\pm }} sont deux horizons. La surface de coordonnée r + {\displaystyle r_{+}} est l'horizon des événements du trou noir[32] ; celle de coordonnée r − {\displaystyle r_{-}} est son horizon de Cauchy[32].

Troisième fonction

Une troisième fonction apparaît souvent dans l'expression d'une métrique en coordonnées de Boyer-Lindquist. Elle est notée Σ 2 {\displaystyle \Sigma ^{2}} [33],[34],[35]. Dans le cas de la métrique de Kerr, elle est définie par[33],[34],[35] : Σ 2 = ( r 2 + a 2 ) 2 − a 2 Δ sin 2 ⁡ θ {\displaystyle \Sigma ^{2}=\left(r^{2}+a^{2}\right)^{2}-a^{2}\Delta \sin ^{2}\theta } . Il en est de même dans le cas de la métrique de Kerr-Newman[36].

Autres fonctions

α 2 {\displaystyle \alpha ^{2}} , ϖ 2 {\displaystyle \varpi ^{2}} et ω {\displaystyle \omega } sont trois autres fonctions qui apparaissent dans l'expression d'une métrique en coordonnées de Boyer-Lindquist[37].

α {\displaystyle \alpha } est la fonction lapse déjà rencontrée[38]. ϖ {\displaystyle \varpi } est le rayon cylindrique[38] : 2 π ϖ = 2 π g ϕ ϕ {\displaystyle 2\pi \varpi =2\pi {\sqrt {g_{\phi \phi }}}} est la circonférence d'un cercle autour de l'axe de symétrie[39]. ω {\displaystyle \omega } est la vitesse angulaire des ZAMOs[38] : ω = − β ϕ = ( d ϕ d t ) Z A M O {\displaystyle \omega =-\beta ^{\phi }=\left({\frac {\mathrm {d} _{\phi }}{\mathrm {d} _{t}}}\right)_{\mathrm {ZAMO} }} . Dans le cas de la métrique de Kerr[37] :

α 2 = ρ 2 Σ 2 Δ {\displaystyle \alpha ^{2}={\frac {\rho ^{2}}{\Sigma ^{2}}}\Delta } [40] ;
β 2 = β ϕ 2 γ ϕ ϕ {\displaystyle \beta ^{2}={\frac {\beta _{\phi }^{2}}{\gamma _{\phi \phi }}}} [40] ;
ϖ 2 = Σ 2 ρ 2 sin 2 ⁡ θ {\displaystyle \varpi ^{2}={\frac {\Sigma ^{2}}{\rho ^{2}}}\sin ^{2}\theta }  ;
ω = 2 a M r Σ 2 {\displaystyle \omega ={\frac {2aMr}{\Sigma ^{2}}}} .

Les composantes de la métrique sont reliées aux fonctions[39]. Dans le cas de la métrique de Kerr[41] :

g t t = β 2 − α 2 {\displaystyle g_{tt}=\beta ^{2}-\alpha ^{2}} [18] ;
g r r = γ r r = ρ 2 Δ {\displaystyle g_{rr}=\gamma _{rr}={\frac {\rho ^{2}}{\Delta }}} [18],[42] ;
g θ θ = γ θ θ = ρ 2 {\displaystyle g_{\theta \theta }=\gamma _{\theta \theta }=\rho ^{2}} [42] ;
g ϕ ϕ = γ ϕ ϕ = ϖ 2 {\displaystyle g_{\phi \phi }=\gamma _{\phi \phi }=\varpi ^{2}} [42].
g t ϕ = β ϕ {\displaystyle g_{t\phi }=\beta _{\phi }} [18].

Histoire

Les éponymes des coordonnées de Boyer-Lindquist[43] sont Robert H. Boyer (-) et Richard W. Lindquist[1],[3],[44].

Notes et références

Notes

  1. ↑ En anglais : Boyer–Lindquist coordinates, abrégé en BL coordinates[1].
  2. ↑ En anglais : Boyer−Lindquist foliation[16],[17].

Références

  1. ↑ a et b Meier 2012, 2e part., chap. 7, sec. 7.5, § 7.5.1, p. 235.
  2. ↑ a b c d e et f Maggiore 2018, chap. 12, sec. 12.5, § 12.5.1, p. 169.
  3. ↑ a b et c Misner, Thorne et Wheeler 1973, chap. 33, § 33.2, p. 877.
  4. ↑ Misner, Thorne et Wheeler 1973, chap. 33, § 33.2, encadré 33.2, II, E, 2, p. 880, col. 2.
  5. ↑ Rahaman 2021, chap. 10, sec. 10.7, p. 280.
  6. ↑ Romano et Furnari 2019, chap. 15, sec. 15.6, p. 423.
  7. ↑ Misner, Thorne et Wheeler 1973, chap. 33, § 33.4, p. 892.
  8. ↑ Thorne et Blandford 2021, chap. 26, sec. 26.5, § 26.5.1, p. 1278.
  9. ↑ a et b Lambourne 2010, chap. 6, sec. 6.3, § 6.3.1, p. 193.
  10. ↑ Soffel et Han 2019, chap. 6, sec. 6.3, § 6.3.1, p. 213.
  11. ↑ Gourgoulhon 2023, chap. 10, sec. 10.2, § 10.2.1, p. 312.
  12. ↑ Maggiore 2018, chap. 12, sec. 12.5, § 12.5.1, p. 171, n. 55.
  13. ↑ Maggiore 2018, chap. 12, sec. 12.5, § 12.5.1, p. 171,n. 55.
  14. ↑ Hobson, Efstathiou et Lasenby 2009, chap. 13, § 13.6, p. 316.
  15. ↑ Romano et Furnari 2019, 4e part., chap. 15, § 15.6, p. 423.
  16. ↑ Gajic 2017, sec. 1, § 1.3, no 1.3.3, p. 4015.
  17. ↑ Parfrey et Tchekhovskoy 2017, sec. 3, p. 2, col. 2.
  18. ↑ a b c d et e Menon et Dermer 2011, annexe A, A.1, p. 1103, col. 2.
  19. ↑ a et b Komissarov 2004, sec. 2, p. 429, col. 1.
  20. ↑ a b et c Maggiore 2018, § 15.5.1, p. 169.
  21. ↑ Lawrie 2013, § 4.5.3 (4.70), p. 125.
  22. ↑ Maggiore 2018, § 15.5.1 (12.286), p. 169.
  23. ↑ a et b Belgiorno, Cacciatori et Faccio 2018, § 1.2.2 (1.34), p. 10.
  24. ↑ a et b Lawrie 2013, § 4.5.3 (4.69), p. 125.
  25. ↑ Maggiore 2018, chap. 12, sec. 12.5, § 12.5.1 (12.287), p. 169.
  26. ↑ Deza et Deza 2014, IVe partie, chap. 26, sec. 26.2, s.v. Kerr metric, p. 578.
  27. ↑ Jetzer 2022, chap. 4, sec. 4.1, introduction, p. 113 (4.1).
  28. ↑ Deza et Deza 2014, IVe partie, chap. 26, sec. 26.2, s.v. Kerr-Newman metric, p. 579.
  29. ↑ Jetzer 2022, chap. 4, sec. 4.1, § 4.1.2, p. 115 (4.13).
  30. ↑ a et b Heinicke et Hehl 2017, sec. 3, § 3.4, introduction, p. 152.
  31. ↑ Maggiore 2018, chap. 12, sec. 12.5, § 12.5.1 (12.288), p. 169.
  32. ↑ a et b Heinicke et Hehl 2017, sec. 3, § 3.4, no 3.4.1, p. 152.
  33. ↑ a et b Chandrasekhar 1978, § 2, p. 406 (3).
  34. ↑ a et b Dermer et Menon 2009, chap. 15, sec. 15.3, introduction, p. 385.
  35. ↑ a et b Thorne et al. 1986, sec. A, § 1, p. 70 (3.5).
  36. ↑ Jetzer 2022, chap. 4, sec. 4.1, § 4.1.3, p. 115 (4.14).
  37. ↑ a et b Thorne et Blandford 2021, chap. 26, sec. 26.5, § 26.5.1, p. 1278 (26.70b).
  38. ↑ a b et c Cotopoulos 2014, sec. 9.3, p. 232.
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  40. ↑ a et b Menon et Dermer 2011, annexe A, A.1, p. 1104, col. 1.
  41. ↑ Thorne et al. 1986, sec. A, § 1, p. 70 (3.6c).
  42. ↑ a b et c Dermer et Menon 2009, chap. 15, sec. 15.3, p. 385 (15.23).
  43. ↑ Gialis et Désert 2015, Formulaire abrégé de relativité générale, § 2.7, p. 336.
  44. ↑ Snygg 1997, chap. 9, § 9.1, p. 246.

Voir aussi

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Dictionnaires et encyclopédies

  • [Deza et Deza 2014] (en) Michel Marie Deza et Elena Deza, Encyclopedia of distances, Berlin et Heidelgerg, Springer, hors coll., (réimpr. ), 3e éd. (1re éd. ), XX-733 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-3-662-44341-5 et 978-3-662-51868-7, EAN 9783662443415, OCLC 898123993, DOI 10.1007/978-3-662-44342-2, S2CID 58416790, SUDOC 182433501, présentation en ligne, lire en ligne)

Liens externes

  • [Gourgoulhon 2023] (en) Éric Gourgoulhon, Geometry and physics of black holes (notes de cours et de conférences), Medon, LUTH, , 756 p., A4 (présentation en ligne, lire en ligne Accès libre [PDF]).
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