Todennäköisyyden aksioomat

Todennäköisyysteoriassa tapahtuman A todennäköisyys ${\displaystyle P(A)}$ määritellään yleensä siten, että todennäköisyys P toteuttaa Kolmogorovin aksioomat, jotka ovat saaneet nimensä venäläisen matemaatikon Andrei Kolmogorovin mukaan.

Olkoon kolmikko (Ω, F, P) mitta-avaruus. (Ω, F, P) on todennäköisyysavaruus, jos perusjoukko Ω on epätyhjä joukko, kokoelma F perusjoukon osajoukkoja on sigma-algebra ja todennäköisyys ${\displaystyle P:F\rightarrow \mathbb {R} }$ on mitta ja toteuttaa seuraavat todennäköisyyden aksioomat.

Ensimmäinen aksiooma

Tapahtuman todennäköisyys on positiivinen reaaliluku, tai nolla:

${\displaystyle P(A)\in \mathbb {R} \land P(A)\geq 0\qquad \forall A\in F}$

missä ${\displaystyle F}$ on tapahtumien joukko ja ${\displaystyle A}$ jokin tapahtuma joukossa ${\displaystyle F}$.

Toinen aksiooma

Koko perusjoukon todennäköisyys on yksi:

${\displaystyle P(\Omega )=1}$.

Kolmas aksiooma

Tätä ehtoa kutsutaan usein täysadditiivisuudeksi tai ${\displaystyle \sigma }$-additiivisuudeksi:

Jos tapahtumat ${\displaystyle A_{1},A_{2},...A_{n}}$ ovat pistevieraita (ts. erillisiä), niin niiden yhdisteen todennäköisyys on niiden todennäköisyyksien summa:

${\displaystyle P(A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots )=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_{i}).}$.

Seurauksia

Aksioomista voidaan johtaa kaikki muut todennäköisyyden laskusäännöt, joista seuraavassa muutamia esimerkkejä.

Monotonisuus

${\displaystyle P(A)\leq P(B)\quad \forall A,B\in F,\quad A\subseteq B.}$

Tyhjän joukon todennäköisyys

${\displaystyle P(\emptyset )=0.}$

Todennäköisyys on normeerattu mitta

${\displaystyle 0\leq P(A)\leq 1\qquad \forall A\in F.}$

Todistukset

Monotonisuus ja tyhjän joukon todennäköisyys

Määritellään ${\displaystyle E_{1}=A}$ ja ${\displaystyle E_{2}=B\backslash A}$, missä ${\displaystyle \quad A\subseteq B{\text{ ja }}E_{i}=\emptyset }$ kaikilla ${\displaystyle i\geq 3}$. On helposti nähtävissä, että joukot ${\displaystyle E_{i}}$ ovat pistevieraita ja ${\displaystyle E_{1}\cup E_{2}\cup \ldots =B}$. Siten kolmannesta aksioomasta saamme

${\displaystyle P(A)+P(B\backslash A)+\sum _{i=3}^{\infty }P(\emptyset )=P(B).}$

Yhtälön vasen puoli muodostuu epänegatiivisista luvuista, joiden summa on ${\displaystyle P(B)}$, joka on äärellinen. Tästä seuraa suoraan monotonisuus ${\displaystyle P(A)\leq P(B)}$. Tyhjän joukon todennäköisyys ${\displaystyle P(\emptyset )=0}$ voidaan todistaa asettamalla lisäksi vastaväite: jos ${\displaystyle P(\emptyset )=a}$ niin yhtälön vasen puoli saa vähintään arvon

${\displaystyle \sum _{i=3}^{\infty }P(E_{i})=\sum _{i=3}^{\infty }P(\emptyset )=\sum _{i=3}^{\infty }a={\begin{cases}0&{\text{jos }}a=0,\\\infty &{\text{jos }}a>0.\end{cases}}}$

Jos ${\displaystyle a>0}$, saadaan ristiriita, sillä tällöin yhtälön vasen puoli olisi ääretön, eikä ${\displaystyle P(B)}$, joka on äärellinen. Siis ${\displaystyle a=0}$ ja ${\displaystyle P(\emptyset )=0}$.

Todennäköisyys on normeerattu mitta

Ensimmäisen aksiooman nojalla

${\displaystyle P(A)\geq 0}$ ja ${\displaystyle P(A^{c})=1-P(A)\geq 0}$, mikä sisältää väitteen.

Kirjallisuutta

• Pekka Tuominen: Todennäköisyyslaskenta I. Limes ry (2007).
• Kolmogorov: Foundations of the Theory of Probability, (1933).