Suuruusjärjestysepäyhtälö

Suuruusjärjestysepäyhtälöllä voidaan approksimoida kahden samanpituisten äärellisten reaalilukujen jonon alkioiden tulojen summaa. Sen mukaan

Olkoon

x 1 ≤ ⋯ ≤ x n ja y 1 ≤ ⋯ ≤ y n {\displaystyle x_{1}\leq \cdots \leq x_{n}\quad {\mbox{ja}}\quad y_{1}\leq \cdots \leq y_{n}}

reaalilukuja ja

x σ ( 1 ) , … , x σ ( n ) {\displaystyle x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)}}

mielivaltainen lukujen x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}} permutaatio. Tällöin suuruusjärjestysepäyhtälön mukaan

x 1 y 1 + ⋯ + x n y n ≥ x σ ( 1 ) y 1 + ⋯ + x σ ( n ) y n ≥ x n y 1 + ⋯ + x 1 y n . {\displaystyle x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}\geq x_{\sigma (1)}y_{1}+\cdots +x_{\sigma (n)}y_{n}\geq x_{n}y_{1}+\cdots +x_{1}y_{n}.}

Suuruusjärjestysepäyhtälö voidaan todistaa matemaattisella induktiolla. Moni kuuluisa summia koskeva epäyhtälö voidaan todistaa suuruusjärjestysepäyhtälön avulla kuten esimerkiksi aritmeettis-geometrinen epäyhtälö, Cauchyn–Schwarzin epäyhtälö ja Tšebyšovin summaepäyhtälö.

Aiheesta muualla

  • Suuruusjärjestysepäyhtälö[vanhentunut linkki] (Linkki vaatii kirjautumisen)