Biot’n ja Savartin laki

Biot'n ja Savartin laki on sähkömagnetismia kuvaava laki, jolla on myös sovelluksia aerodynamiikassa. Alun perin laki kuvaa vakiosähkövirran synnyttämää magneettikenttää. Yksinkertaisen analogian avulla laki voidaan ulottaa myös laskemaan pyörteiden synnyttämiä ilman nopeuksia.

Biot'n ja Savartin laki seuraa Ampèren laista. Se on nimetty ranskalaisten fyysikoiden Jean Baptiste Biot'n (1774–1862) ja Felix Savartin (1791–1841) mukaan.^[1] Kaava kertoo, että jos määrittelemme differentiaalisen virta-alkion ${\displaystyle \scriptstyle I\,\mathrm {d} \mathbf {l} }$, niin sitä vastaava differentiaalinen magneettivuon tiheys on ^[2][3]

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I\,\mathrm {d} \mathbf {l} \times \mathbf {r} }{r^{3}}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I\,\mathrm {d} \mathbf {l} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}}$

missä

${\displaystyle \scriptstyle \mu _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}{\frac {N}{A^{2}}}}$ on tyhjiön permeabiliteetti

${\displaystyle \scriptstyle I\mathbf {} }$ on virta ampeereina

${\displaystyle \scriptstyle \mathrm {d} \mathbf {l} }$ on virta-alkion differentiaalinen pituusvektori

${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {r} }$ on tarkasteltavan magneettikentän pisteen paikkavektori

${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\hat {r}} }$ on yksikkövektori virta-alkiosta tarkasteltavaan magneettikentän pisteeseen

${\displaystyle \scriptstyle r\mathbf {} }$ on etäisyys virta-alkiosta tarkasteltavaan magneettikentän pisteeseen (vektorin ${\displaystyle \mathbf {r} }$ pituus).

Integroimalla tätä suljetun virtasilmukan yli saadaan silmukan synnyttämä magneettikenttä määritettyä mielivaltaisessa pisteessä ^[2][4]

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\oint {\frac {\mathrm {d} \mathbf {l} \times \mathbf {r} }{r^{3}}}={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\oint {\frac {\mathrm {d} \mathbf {l} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}}$.

Yllä esitetty muoto differentiaaliselle magneettivuon tiheydelle pätee vain tapauksessa, jossa tarkastelija (eli origo) sijaitsee tarkasteltavassa magneettikentän pisteessä. Jos tarkastelija on systeemin ulkopuolinen, täytyy yhtälöön tehdä pieniä muutoksia.

Tarkastellaan virtajohdinta, jossa kulkee sähkövirta ${\textstyle I}$. Kiinnitetään johtimen mielivaltaiseen pisteeseen ${\textstyle Q}$ virta-alkion differentiaalinen pituusvektori ${\textstyle \mathrm {d} \mathbf {l} '}$. Merkitään vektoria ${\textstyle OP}$ (pisteen ${\textstyle P}$ paikkavektori) ${\textstyle \mathbf {r} }$:llä ja vektoria ${\textstyle OQ}$ (pisteen ${\textstyle Q}$ paikkavektori) ${\textstyle \mathbf {r} '}$:lla. Vektorien laskusääntöjen nojalla vektori ${\textstyle QP}$ on tällöin ${\textstyle \mathbf {r} -\mathbf {r} '}$. Biot'n ja Savartin lain yleinen muoto saadaan korvaamalla edellä esitetyssä muodossa vektori ${\textstyle \mathbf {r} }$ vektorilla ${\textstyle \mathbf {r} -\mathbf {r} '}$. Tällöin magneettivuon tiheys pisteessä ${\textstyle P}$ origosta katsottuna on:

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {l} '\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{||\mathbf {r} -\mathbf {r} '||^{3}}}}$. ^[4]

Merkintä ${\textstyle ||\mathbf {r} -\mathbf {r} '||}$ tarkoittaa vektorin ${\textstyle \mathbf {r} -\mathbf {r} '}$ normia eli pituutta. Integraalimuoto saadaan vastaavasti:

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\oint {\frac {\mathrm {d} \mathbf {l} '\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{||\mathbf {r} -\mathbf {r} '||^{3}}}}$. ^[4]

Ei-origokeskisen muodon etu on se, että sen avulla magneettivuon tiheys on hyvin määritelty myös, jos ${\textstyle P}$ on johtimen piste (jolloin alkuperäisessä yhtälössä ${\textstyle r=0}$). Tällöin tosin magneettivuon tiheys on nolla, sillä ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {l} '\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')=0}$.

Lasketaan (äärettömän) pitkän, ohuen, ${\textstyle z}$-akselilla kulkevan virtajohtimen magneettivuon tiheys johtimen ulkopuolella etäisyydellä ${\textstyle r}$. Johtimessa kulkee sähkövirta ${\textstyle I}$.

Ratkaisu:

Käytetään hyödyksi edellisen kappaleen kuvaa ja merkintöjä. Origo sijaitsee nyt johtimessa, sillä se on ${\textstyle z}$-akselin nollapiste. Koska ollaan kiinnostuneita vain etäisyyden vaikutuksesta magneettivuon tiheyteen, on helpointa valita piste ${\textstyle P}$ siten, että siitä kohtisuorasti johtimeen vedetty jana osuu origoon. Piste ${\textstyle Q}$ sijaitsee myös ${\textstyle z}$-akselilla.

Virtajohdin kulkee ${\textstyle z}$-akselilla, joten virta-alkio on

${\displaystyle I\,\mathrm {d} \mathbf {l} '=I\,\mathbf {k} \,\mathrm {d} z}$,

missä ${\textstyle \mathbf {k} }$ on ${\textstyle z}$-akselin kantavektori. Jos virta käännetään vastakkaissuuntaiseksi, korvataan kantavektori ${\textstyle -\mathbf {k} }$:lla. Muut vektorit ja niiden pituudet ovat:

${\displaystyle {\begin{aligned}OP=\mathbf {r} ,&\quad ||\mathbf {r} ||=r\\OQ=\mathbf {r} '=z\mathbf {k} ,&\quad ||\mathbf {r} '||=|z|\\QP=\mathbf {r} -\mathbf {r} ',&\quad ||\mathbf {r} -\mathbf {r} '||={\sqrt {r^{2}+z^{2}}}\end{aligned}}}$

Merkitään ristituloa varten vektoreiden ${\displaystyle I\,\mathrm {d} \mathbf {l} '}$ ja ${\textstyle \mathbf {r} -\mathbf {r} '}$ välistä kulmaa ${\displaystyle \theta }$:lla. Trigonometrian avulla huomataan, että

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {||\mathbf {r} ||}{||\mathbf {r} -\mathbf {r} '||}}={\frac {r}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}$.

Lasketaan magneettivuon tiheys (suuruus) pisteessä ${\textstyle P}$ käyttäen Biot'n ja Savartin lain ei-origokeskistä muotoa. Koska johdin on äärettömän pitkä, ovat integrointirajat ${\displaystyle -\infty <z<\infty }$.

${\displaystyle {\begin{aligned}B(r)=||\mathbf {B} (r)||&={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\oint {\frac {||\mathrm {d} \mathbf {l} '\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')||}{||\mathbf {r} -\mathbf {r} '||^{3}}}\\&={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {||\mathbf {r} -\mathbf {r} '||\sin \theta }{||\mathbf {r} -\mathbf {r} '||^{3}}}\,\mathrm {d} z\\&={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {r}{(r^{2}+z^{2}){\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}\,\mathrm {d} z\\&={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {r}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}}}\,\mathrm {d} z\\&={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\Bigg |}_{-\infty }^{\infty }{\frac {z}{r{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}\\&={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {2}{r}}\\&={\frac {\mu _{0}I}{2\pi r}}\end{aligned}}}$

• Lindell, Ismo & Sihvola, Ari: Sähkömagneettinen kenttäteoria 1. Staattiset kentät. Helsinki: Otatieto, 2013. ISBN 978-951-672-354-2.