Topología final

En topología general, la topología final en un conjunto X {\displaystyle X} con respecto a una familia de aplicaciones de espacios topológicos en X {\displaystyle X} es la topología más fina en X {\displaystyle X} que hace que todas esas aplicaciones sean continuas.

La noción dual es la topología inicial, que para una familia dada de aplicaciones de un conjunto X {\displaystyle X} en espacios topológicos es la topología menos fina en X {\displaystyle X} que hace que esas aplicaciones sean continuas.

Definición

Topología final

Sea X {\displaystyle X} un conjunto no vacío, { ( Y i , T i ) } i ∈ I {\displaystyle \{\left(Y_{i},{\mathcal {T}}_{i}\right)\}_{i\in I}} una familia arbitraria de espacios topológicos y F = { f i : Y i → X : i ∈ I } {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f_{i}:Y_{i}\to X\,:i\in I\}} una familia de aplicaciones.

Se define la topología final en X {\displaystyle X} inducida por la familia de aplicaciones F {\displaystyle {\mathcal {F}}} como:

T F = { U ⊆ X : f i − 1 ( U ) ∈ T i ∀ i ∈ I } {\displaystyle {\mathcal {T}}_{\mathcal {F}}=\{U\subseteq X:f_{i}^{-1}(U)\in {\mathcal {T}}_{i}\quad \forall i\in I\}}

Por construcción, T F {\displaystyle {\mathcal {T}}_{\mathcal {F}}} es la topología más fina en X {\displaystyle X} tal que f i : ( Y i , T i ) → ( X , T F ) {\displaystyle f_{i}:(Y_{i},{\mathcal {T}}_{i})\to (X,{\mathcal {T}}_{\mathcal {F}})} es continua para todo i ∈ I {\displaystyle i\in I} .

Los cerrados de T F {\displaystyle {\mathcal {T}}_{\mathcal {F}}} tienen una caracterización análoga: un subconjunto C ⊆ X {\displaystyle C\subseteq X} es cerrado de la topología final T F {\displaystyle {\mathcal {T}}_{\mathcal {F}}} si y solo si f i − 1 ( C ) ⊆ Y i {\displaystyle f_{i}^{-1}(C)\subseteq Y_{i}} es cerrado de T i {\displaystyle {\mathcal {T}}_{i}} para cada i ∈ I {\displaystyle i\in I} .

Ejemplos

Referencias

  • Brown, Ronald (June 2006). Topology and Groupoids. North Charleston: CreateSpace. ISBN 1-4196-2722-8. 
  • Willard, Stephen (1970). General Topology. Addison-Wesley Series in Mathematics. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 9780201087079.